§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь
Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют поля только на больших расстояниях по сравнению с размером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электрического диполя.

Фигура 14.6. Прямоугольная проволочная петля с током
.
Чему равно магнитное поле в точке
? (
).
Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении
нет, поэтому
равно нулю. Есть токи в направлении
по обеим сторонам прямоугольника, длина которых
. В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для
в точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14.7). Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см. гл. 6, § 5). В точке
на фиг. 14.6 потенциал равен
, (14.28)
где
— дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке, умноженному на расстояние между ними:
(14.29)
Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении
, поэтому косинус угла между
и
равен
(где
— координата
). Итак, мы имеем


Фигура 14.7. Распределение
в проволочной петле с током, изображенной на фиг. 14.6.
Заменяя
на
, сразу же получаем
:
(14.30)
С помощью тех же рассуждений:
(14.31)
Снова
пропорционально
, а
пропорционально
, так что векторный потенциал (на больших расстояниях) идет по кругу вокруг оси
, циркулируя таким же образом, как ток
в петле (фиг. 14.8).

Фигура 14.8. Векторный потенциал маленькой петли с током, расположенной в начале координат (в плоскости
). Поле магнитного диполя.
Величина
пропорциональна
, т. е. току, умноженному на площадь петли. Это произведение называется магнитным дипольным моментом (или часто просто «магнитным моментом») петли. Мы обозначим его через
:
(14.32)
Векторный потенциал маленькой плоской петельки любой формы (круг, треугольник и т. п.) также дается уравнениями (14.30) и (14.31), если заменить
на
(14.33)
Мы предоставляем вам право это доказать.
Нашему уравнению можно придать векторную форму, если определить вектор
как нормаль к плоскости петли с положительным направлением, определяемым по правилу правой руки (см. фиг. 14.8). Тогда можно написать
(14.34)
Нам еще нужно найти
. Пользуясь (14.33) и (14.34), а также (14.4), получаем
(14.35)
(под многоточием мы подразумеваем
),
, (14.36)

Компоненты поля
ведут себя точно так же, как компоненты поля
для диполя, ориентированного вдоль оси
[см. уравнения (6.14) и (6.15), а также фиг. 6.5, стр. 115]. Вот почему мы называем петлю магнитным диполем. Слово «диполь» в применении к магнитному полю немного запутывает, потому что нет отдельных магнитных «полюсов», соответствующих электрическим зарядам. Магнитное «дипольное поле» создается не двумя «зарядами», а элементарной петлей с током.
В общем-то довольно любопытно, что, начав с совсем разных законов,
и
, можно прийти к полю одного и того же вида. Почему так получается? Потому что дипольные поля возникают, только когда мы находимся далеко от всех токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для
и
одинаковы: у обоих дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни и те же решения. Однако источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов, физически совершенно различны. В одном случае это циркулирующий ток, а в другом — пара зарядов, один над, а другой под плоскостью петли для соответствующего поля.