Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавление


§ 7. Закон Био — Савара

В ходе изучения электростатики мы нашли, что электрическое поле известного распределения зарядов может быть получено сразу в виде интеграла [уравнение (4.16)]

Как мы видели, вычислить этот интеграл (а их на самом деле три, по одному на каждую компоненту) обычно бывает труднее, чем вычислить интеграл для потенциала и взять от него градиент.

Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для  [уравнение (14.19)]; мы можем получить интеграл и для , если возьмем ротор от обеих частей:

                          (14.39)

А теперь мы должны быть осторожны. Оператор ротора означает взятие производных от , т. е. он действует только на координаты . Можно внести оператор  под интеграл, если помнить, что он действует только на переменные со значком 1, которые появляются, конечно, только в

                         (14.40)

Мы получаем для компоненты :

                                 (14.41)

Величина в скобках есть просто компонента от

Такие же результаты получаются и для других компонент, и мы имеем

                                   (14.42)

Интеграл дает  сразу через известные токи. Геометрия здесь точно такая же, какая изображена на фиг. 14.2.

Если токи текут только по тонким проводам, мы можем, как в предыдущем параграфе, немедленно взять интеграл поперек провода, заменив  на , где  — элемент длины провода. Тогда, пользуясь обозначениями фиг. 14.10, имеем

                           (14.43)

(Знак минус появляется потому, что мы изменили порядок векторного произведения.) Это уравнение для  называется законом Био — Савара в честь открывших его ученых. Он дает формулу для прямого вычисления магнитного поля, создаваемого проводами с током.

Вероятно, вы удивились: «Какой же прок от векторного потенциала, если мы можем сразу найти  в виде векторного интеграла? В конце концов  тоже определяется тремя интегралами!» Из-за векторного произведения интегралы для  обычно сложнее устроены, как это видно из уравнения (14.41). Кроме того, поскольку интегралы для  похожи на электростатические, то нам не надо их вычислять заново. Наконец, мы увидим, что в более трудных теоретических вопросах, таких, как теория относительности, в современном изложении законов механики, вроде принципа наименьшего действия, о котором будет рассказано позже, в квантовой механике, векторный потенциал играет важную роль.

 



<< ПредыдущаяОглавление