§ 3. Поляризационные заряды

Посмотрим теперь, что дает эта модель для конденсатора с диэлектриком. Рассмотрим сначала лист материала, в котором на единицу объема приходится дипольный момент . Получится ли в результате в среднем какая-нибудь плотность зарядов? Нет, если  постоянен.

Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не приводит к появлению суммарного заряда внутри объема. С другой стороны, если бы  в одном месте был больше, а в другом меньше, то это означало бы, что в некоторые области попало больше зарядов, чем оттуда вышло; тогда мы бы могли получить объемную плотность заряда. В случае плоского конденсатора предположим, что  — величина постоянная, поэтому достаточно будет только посмотреть, что происходит на поверхностях. На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) эффективно выдвинулись на расстояние , а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии . Возникает, как показано на фиг. 10.5, поверхностная плотность зарядов, которую мы будем называть поляризационным зарядом.

Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна , то число электронов, которое окажется на поверхности, есть произведение  и  (числа электронов на единицу объема), а также смещения , которое, как мы предполагаем, направлено перпендикулярно к поверхности. Полный заряд получится умножением на заряд электрона . Чтобы найти поверхностную плотность поляризационных зарядов, индуцируемую на поверхности, разделим на . Величина поверхностной плотности зарядов равна

.

Фигура 10.5. Диэлектрик в однородном поле. Положительные заряды сместились на расстояние  относительно отрицательных.

Но она равна как раз длине  вектора поляризации  [формула (10.4)]:

.                                                                    (10.5)

Поверхностная плотность зарядов равна поляризации внутри материала. Поверхностный заряд, конечно, на одной поверхности положителен, а на другой отрицателен.

Предположим теперь, что наша пластинка служит диэлектриком в плоском конденсаторе. Пластины конденсатора также имеют поверхностный заряд (который мы обозначим , потому что заряды в проводнике могут двигаться «свободно» куда угодно). Конечно, это тот самый заряд, который мы сообщили конденсатору при его зарядке. Следует подчеркнуть, что  существует только благодаря . Если, разрядив конденсатор, удалить , то  также исчезнет, но он не стечет по проволоке, которой разряжают конденсатор, а уйдет назад внутрь материала, за счет релаксации поляризации в диэлектрике.

Теперь мы можем применить теорему Гаусса к поверхности , изображенной на фиг. 10.1. Электрическое поле  в диэлектрике равно полной поверхностной плотности зарядов, деленной на . Очевидно, что  и  имеют разные знаки, так что

                                                         (10.6)

Заметьте, что поле  между металлической пластиной и поверхностью диэлектрика больше поля ; оно соответствует только . Но нас здесь интересует поле внутри диэлектрика, которое занимает почти весь объем, если диэлектрик заполняет почти весь промежуток между пластинами. Используя формулу (10.5), можно написать

.                                     (10.7)

Из этого уравнения мы не можем определить электрическое поле, пока не узнаем, чему равно . Здесь мы, однако, предполагаем, что  зависит от  и, более того, пропорционально . Эта пропорциональность обычно записывается в виде

.                                                                   (10.8)

Постоянная  (греческое «хи») называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Тогда выражение (10.7) приобретает вид

,

откуда мы получаем множитель , показывающий, во сколько раз уменьшилось поле.

Фигура 10.6. Количество заряда, прошедшее через элемент воображаемой поверхности в диэлектрике, пропорционально компоненте , нормальной к поверхности.

Напряжение между пластинами есть интеграл от электрического поля. Раз поле однородно, интеграл сводится просто к произведению  и расстояния между пластинами . Мы получаем

.

Полный заряд конденсатора есть  А, так что емкость, определяемая формулой (10.2),  оказывается равной

.                                (10.10)

Мы объяснили явление, наблюдавшееся на опыте. Если заполнить плоский конденсатор диэлектриком, емкость возрастает на множитель

.                                 (10.11)

который характеризует свойства данного материала. Наше объяснение останется, конечно, неполным, пока мы не объясним (а это мы сделаем позже), как возникает атомная поляризация.

Обратимся теперь к чуть более сложному случаю — когда поляризация  не всюду одинакова. Мы уже говорили, что если поляризация непостоянна, то вообще может возникнуть объемная плотность заряда, потому что с одной стороны в маленький элемент объема может войти больше зарядов, чем выйдет с другой. Как определить, сколько зарядов теряется или приобретается  в маленьком объеме?

Подсчитаем сначала, сколько зарядов проходит через воображаемую плоскость, когда материал поляризуется. Количество заряда, проходящее через поверхность, есть просто , умноженное на площадь поверхности, если поляризация направлена по нормали к поверхности. Разумеется, если поляризация касательно, к поверхности, то через нее не пройдет ни одного заряда.

Продолжая прежние рассуждения, легко понять, что количество заряда, прошедшее через любой элемент поверхности, пропорционально компоненте , перпендикулярной к поверхности. Сравним фиг. 10.6 и 10.5. Мы видим, что уравнение (10.5) в общем случае должно быть записано так:

.                                                              (10.12)

Фигура 10.7. Неоднородная поляризация может приводить к появлению результирующего заряда внутри диэлектрика.

Если мы имеем в виду воображаемый элемент поверхности внутри диэлектрика, то формула (10.12) дает заряд, который прошел через поверхность, но не приводит к результирующему поверхностному заряду, потому что возникают равные и противоположно направленные вклады от диэлектрика по обе стороны поверхности.

Однако смещение зарядов может привести к появлению объемной плотности зарядов. Полный заряд, выдвинутый из объема  за счет поляризации, есть интеграл от внешней нормальной составляющей  по поверхности , охватывающей объем (фиг. 10.7). Такой же излишек зарядов противоположного знака остается внутри. Обозначая суммарный заряд внутри  через , запишем

.                             (10.13)

Мы можем отнести  за счет объемного распределения заряда с плотностью , так что

                                                     (10.14)

Комбинируя оба уравнения, получаем

.                                              (10.15)

Мы получили разновидность теоремы Гаусса, связывающую плотность заряда поляризованного материала с вектором поляризации . Мы видим, что она согласуется с результатом, полученным для поверхностного поляризационного заряда или же для диэлектрика в плоском конденсаторе. Уравнение (10.15) с гауссовой поверхностью , изображенной на фиг. 10.1, дает в правой части интеграл по поверхности, равный , а в левой части заряд внутри объема оказывается , так что мы снова получаем .

Точно так же, как мы делали в случае закона Гаусса для электростатики, мы можем перейти в уравнении (10.15) к дифференциальной форме, пользуясь математической теоремой Гаусса:

.

Мы получаем

.                                                           (10.16)

Если поляризация неоднородна, ее дивергенция определяет появляющуюся в материале результирующую плотность зарядов. Подчеркнем, что это совсем настоящая плотность зарядов; мы называем ее «поляризационным зарядом», только чтобы помнить, откуда она взялась.