§ 4. Уравнения электростатики для диэлектриков

Давайте теперь свяжем полученные нами результаты с тем, что мы уже узнали в электростатике. Основное уравнение имеет вид

,                                                                (10.17)

где  — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить  на две части. Обозначим снова через  заряды, появляющиеся за счет неоднородной поляризации, а остальную часть назовем . Обычно  означает заряд, сообщаемый проводникам или распределенный известным образом в пространстве. В  этом случае уравнение  (10.17)  приобретает вид

,

или

.                                                (10.18)

Уравнение для ротора от , конечно, не меняется:

.                                                                  (10.19)

Подставляя  из уравнения (10.8), получаем более простое уравнение:

.                            (10.20)

Это и есть уравнения электростатики в присутствии диэлектриков. Они, конечно, не дают ничего нового, но имеют вид, более удобный для расчетов в тех случаях, когда  известно, а поляризация  пропорциональна .

Заметьте, что мы не вытащили «константу» диэлектрической проницаемости  за знак дивергенции. Это потому, что она может не быть всюду одинаковой. Если она повсюду одинакова, то ее можно выделить в качестве множителя и уравнения станут в точности обычными уравнениями электростатики, где только  нужно поделить на . В написанной нами форме уравнения годятся в общем случае, когда в разных местах поля расположены разные диэлектрики. В таких случаях решить уравнения иногда бывает очень трудно.

Здесь следует отметить один момент, имеющий историческое значение. На заре рождения электричества атомный механизм поляризации не был еще известен и о существовании  не знали. Заряд  считался равным всей плотности зарядов. Чтобы придать уравнениям Максвелла простой вид, вводили новый вектор  как линейную комбинацию  и :

.                                                             (10.21)

В результате уравнения (10.18) и (10.19) записывались в очень простом виде:

.                                        (10.22)

Можно ли их решить? Только когда задано третье уравнение, связывающее  и . Если справедливо уравнение (10.8), то эта связь есть

.                                            (10.23)

Последнее уравнение обычно записывается так:

,                                                                     (10.24)

где  — еще одна постоянная, описывающая диэлектрические свойства материалов. Она также называется «проницаемостью». (Теперь вы понимаете, почему в наших уравнениях  появилось , это «проницаемость пустого пространства».) Очевидно,

.                                                (10.25)

Сейчас мы рассматриваем эти вещи уже с другой точки зрения, а именно что в вакууме всегда имеются самые простые уравнения, и если в каждом случае учесть все заряды, какова бы ни была причина их возникновения, то они всегда справедливы. Выделяя часть зарядов либо из соображений удобства, либо потому, что мы не хотим вникать в детали процесса, мы всегда можем при желании написать уравнения в любой удобной для нас форме.

Сделаем еще одно замечание. Уравнение  представляет собой попытку описать свойства вещества. Но вещество исключительно сложно по своей природе, и подобное уравнение на самом деле неправильно. Так, если  становится очень большим,  перестает быть пропорциональным . В некоторых веществах пропорциональность нарушается уже при достаточно слабых полях. Кроме того, «константа» пропорциональности может зависеть от того, насколько быстро  меняется со временем. Следовательно, уравнение такого типа есть нечто вроде приближенного уравнения типа закона Гука. Оно не может быть глубоким, фундаментальным уравнением. С другой стороны, наши основные уравнения для  (10.17) и (10.19) выражают наиболее полное и глубокое понимание электростатики.