Глава 14. Магнитное поле в разных случаях

§ 1. Векторный потенциал

В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:

,                                  (14.1)

                           (14.2)

На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал  дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием . Мы покажем сейчас, что для нахождения поля  существует аналогичная процедура, если известна плотность тока  всех движущихся зарядов.

В электростатике, как мы видели (из-за того, что  от  везде равен нулю), всегда можно представить  в виде градиента от скалярного поля . А вот  от  не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция  везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить  в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить  через поле, которое мы обозначим :

                                (14.3)

Или, расписывая компоненты:

                           (14.4)

Запись  гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно

Поле  называется векторным потенциалом.

Вспомним, что скалярный потенциал  оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал , то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал , добавив постоянную:

Новый потенциал  дает те же электрические поля, потому что градиент  есть нуль;  и  отвечают одной и той же картине.

Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов , приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку  получается из  дифференцированием, то прибавление к  константы не меняет физики дела. Но для  свобода больше. Мы можем добавить к  любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть , которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле . Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал , будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле . Значит,  и  имеют одинаковый ротор

Поэтому

Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем , так что . Это означает, что если  есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом

также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю .

Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» , накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал  равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить , наложив на него такое условие, чтобы дивергенция  чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая . Так получается потому, что, хотя  и  имеют одинаковый ротор и дают одно и то же , они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, , и, подбирая соответствующее , можно придать  любое значение.

Чему следует приравнять ? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор

(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение  в данный момент есть  и .

Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля . Выбирая ось  в направлении , мы должны иметь

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть

Или с тем же успехом можно взять

Еще одно решение есть комбинация первых двух

                          (14.8)

Ясно, что для каждого поля  векторный потенциал  не единственный; существует много возможностей.

Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку компонента пропорциональна , а компонента пропорциональна , то вектор  должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси , который мы обозначим  (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина  пропорциональна  и, следовательно, пропорциональна . Поэтому  (для однородного поля) может быть записано просто

                             (14.9)

Векторный потенциал  равен по величине  и вращается вокруг оси , как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле  есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.

Фигура 14.1. Однородное магнитное поле , направленное по оси , соответствует векторному потенциалу , который вращается вокруг оси .  - расстояние до оси .

Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция  вдоль любой замкнутой петли  может быть выражена через поверхностный интеграл от  с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]

                                   (14.10)

Но интеграл справа равен потоку  сквозь петлю, поэтому

                                 (14.11)

Итак, циркуляция  вдоль всякой петли равна потоку  сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса  в плоскости, перпендикулярной однородному полю , то поток будет в точности равен

Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что  можно считать направленным по касательной и функцией только от , то циркуляция будет равна

Как и раньше, получаем

В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.