§ 2. Векторный потенциал заданных токов
Раз
определяется токами, значит, и
тоже. Мы хотим теперь выразить
через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

откуда, конечно, следует
(14.12)
Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение
(14.13)
для электростатики.
Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для
если переписать
, используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]
(14.14)
Поскольку мы выбрали
(и теперь вы видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид
(14.15)
Это векторное уравнение, конечно, распадается натри уравнения
(14.16)
и каждое из этих уравнении математически идентично уравнению
(14.17)
Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного
, можно использовать для нахождения каждой компоненты
, когда известно
!
В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для 
(14.18)
и аналогично для
и
. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для
и
.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:
(14.19)
(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет
, поскольку
, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)

Фигура 14.2. Векторный потенциал
в точке 1 определяется интегралом по элементам тока
во всех точках 2.
Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой:
компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока
, точно такая же, как электрический потенциал
, который был бы создан плотностью зарядов
, равной
, и аналогично для
и
компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента
не связана таким же образом с «радиальной» компонентой
.) Итак, из вектора плотности тока
можно найти
, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту
, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда
и
. Затем мы находим
, вычислив разные производные от
, входящие в
. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.