§ 2. Векторный потенциал заданных токов

Раз  определяется токами, значит, и  тоже. Мы хотим теперь выразить  через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

откуда,  конечно, следует

                             (14.12)

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

                           (14.13)

для электростатики.

Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для  если переписать , используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]

                                    (14.14)

Поскольку мы выбрали  (и теперь вы видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид

                         (14.15)

Это векторное уравнение, конечно, распадается натри уравнения

                          (14.16)

и каждое из этих уравнении математически идентично уравнению

                             (14.17)

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного , можно использовать для нахождения каждой компоненты , когда известно !

В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для

                          (14.18)

и аналогично для  и . (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для  и .) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:

                              (14.19)

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет , поскольку , а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)

Фигура 14.2. Векторный потенциал  в точке 1 определяется интегралом по элементам тока  во всех точках 2.

Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока , точно такая же, как электрический потенциал , который был бы создан плотностью зарядов , равной , и аналогично для  и компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента  не связана таким же образом с «радиальной» компонентой .) Итак, из вектора плотности тока  можно найти , пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту , решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда  и . Затем мы находим , вычислив разные производные от , входящие в . Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.