§ 6. Взаимная индукция

Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов. Но если токи меняются медленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно такое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем считать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справедливо.

На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1 состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э. д. с. Эту индуцированную э. д. с. мы сейчас и вычислим.

Фиг. 17.8. Ток в катушке 1 создает магнитное поле, проходящее через катушку 2.

В гл. 13, § 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно

,                      (17.23)

где  - число витков в катушке 1,  - ток в ней, а  - ее длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно , тогда поток поля  равен его величине, умноженной на . Если в катушке 2 имеется  витков, то поток проходит по катушке  раз. Поэтому э. д. с. в катушке 2 дается выражением

.                     (17.24)

Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть . Поэтому э. д. с. дается выражением

.                (17.25)

Мы видим, что э. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности - по существу геометрический фактор двух катушек, называется коэффициентом взаимной индукции и обозначается обычно .

Тогда (17.25) записывается уже в виде

.                       (17.26)

Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току . Поток сквозь катушку 1 зависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току . Поэтому э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна . Мы можем записать

.                       (17.27)

Вычисление  было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для . Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что  обязательно равно .

Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные  и  были бы другие. Их значения будут зависеть от формы катушек и их относительного положения.

Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:

,

где  - магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от  можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае

,

где  - векторный потенциал, а  - элемент цепи 1. Контурный интеграл берется вдоль контура 1, поэтому э. д. с. в этой катушке может быть записана в виде

.                (17.28)

Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией , пропорциональной интегралу от .

Теперь предположим, что векторный потенциал цепи 1 возникает за счет токов в цепи 2. Тогда его можно записать как контурный интеграл по контуру цепи 2:

,            (17.29)

где  - ток в цепи 2, а  - расстояние от элемента цепи  к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:

.

В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток , который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как

,

где коэффициент  равен

.                        (17.30)

Из этого интеграла очевидно, что  зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для  тождествен с интегралом для . Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты  и  часто обозначают символом  без значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции:

.