§ 3. Энергия постоянных токов

Зная, что , используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая  просто через , напишем

.                   (15.16)

Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямоугольной петли, все это верно и для плоской петельки произвольной формы.

Энергию контура произвольной формы можно найти, представив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Скажем, имеется провод в форме петли  (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность , а на ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток  циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле , ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система небольших токов физически не будет отличима от исходного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.

Фиг. 15.4. Энергию большой петли в магнитном поле можно считать суммой энергий маленьких петелек.

Если площадь каждой петельки , то ее энергия равна , где  - компонента , нормальная к . Полная энергия равна

.

В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и

,                  (15.17)

где  - единичная нормаль к .

Если мы положим , то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса):

,              (15.18)

где  - линейный элемент вдоль . Итак, мы получили энергию контура произвольной формы:

.                  (15.19)

В этом выражении  обозначает, конечно, векторный потенциал, возникающий из-за токов (отличных от тока  в проводе), которые создают поле  близ провода.

Далее, любое распределение постоянных токов можно считать состоящим из нитей, идущих вдоль тех линий, по которым течет ток. Для любой пары таких контуров энергия дается выражением (15.19), где интеграл взят вокруг одного из контуров, а векторный потенциал  создан другим контуром. Полная энергия получается сложением всех таких пар. Если вместо того, чтобы следить за парами, мы полностью просуммируем по всем нитям, то каждую энергию мы засчитаем дважды (такой же эффект мы наблюдали в электростатике), и полную энергию можно будет представить в виде

.                    (15.20)

Это соответствует полученному для электростатической энергии выражению

.                      (15.21)

Значит, мы можем считать , если угодно, своего рода потенциальной энергией токов в магнитостатике. К сожалению, это представление не очень полезно, потому что оно годится только для статических полей. В действительности, если поля со временем меняются, ни выражение (15.20), ни выражение (15.21) не дают правильной величины энергии.