§ 4. B или A?

В этом параграфе нам хотелось бы обсудить такой вопрос: что такое векторный потенциал - просто полезное для расчетов приспособление (так в электродинамике полезен скалярный потенциал) или же он как поле вполне «реален»? Или же «реально» лишь магнитное поле, так как только оно ответственно за силу, действующую на движущуюся частицу?

Для начала нужно сказать, что выражение «реальное поле» реального смысла не имеет. Во-первых, вы вряд ли вообще полагаете, что магнитное поле хоть в какой-то степени «реально», потому что и сама идея поля - вещь довольно отвлеченная. Вы не можете протянуть руку и пощупать это магнитное поле. Кроме того, величина магнитного поля тоже не очень определенна; выбором подходящей подвижной системы координат можно, к примеру, добиться, чтобы магнитное поле в данной точке вообще пропало.

Под «реальным» полем мы понимаем здесь вот что: реальное поле - это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии. Если в точке  имеется заряженная частица, то на нее оказывают влияние другие заряды, расположенные на каком-то удалении от . Один прием, которым можно описать взаимодействие, - это говорить, что прочие заряды создают какие-то «условия» (какие - не имеет значения) в окрестности . Если мы знаем эти условия (мы их описываем, задавая электрическое и магнитное поля), то можем полностью определить поведение частицы, нимало не заботясь после о том, что именно создало эти условия.

Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то образом изменились, а условия в , описываемые электрическим и магнитным полем в точке , остались бы прежними, то движение заряда тоже не изменилось бы. «Реальное» поле тогда есть совокупность чисел, заданных так, что то, что происходит в некоторой точке, зависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, что происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потенциал «реальным» полем.

Вас может удивить тог факт, что векторный потенциал определяется не единственным образом, что его можно изменить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, действующие на частицы, не изменятся. Однако это не имеет ничего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили. К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и  или ). Но нас нисколько не будет заботить, что поле можно изменять таким образом. Нам это безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал - «реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффектов, или же это просто удобный математический прием.

Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала . Мы видели, что им можно пользоваться в формальной процедуре расчета магнитных полей заданных токов, в точности как  может применяться для отыскания электрических полей. В электростатике мы видели, что  давалось скалярным интегралом

.                   (15.22)

Из этого  мы получали три составляющих  при помощи трех дифференцирований. Обычно это было легче, чем вычислять три интеграла в векторной формуле

.             (15.23)

Во-первых, их три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22).

В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл для  уже сам по себе векторный:

,               (15.24)

т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ротор  для получения , надо взять шесть производных и расставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое вычисление

.                   (15.25)

В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться труднее, и вот по какой причине. Предположим, нас интересует магнитное поле  в одной только точке, а задача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симметрии интеграл в (15.25) легко возьмется и вы сразу получите . Если бы, однако, мы начали с , то пришлось бы вычислять  из производных , а для этого надо было бы знать  во всех точках по соседству с той, которая нас интересует. Большая же часть их не лежит на оси симметрии, интеграл для  усложняется. В задаче с кольцом, например, пришлось бы иметь дело с эллиптическими интегралами. В подобных задачах , разумеется, не приносит большой пользы. Во многих сложных задачах, бесспорно, легче работать с , но в общем трудно было бы доказывать, что эти технические облегчения стоят того, чтобы начать изучать еще одно векторное поле.

Мы ввели  потому, что оно действительно имеет большое физическое значение. Оно не просто связано с энергиями токов (в чем мы убедились в последнем параграфе), оно - «реальное» физическое поле в том смысле, о котором мы говорили выше. В классической механике силу, действующую на частицу, очевидно, можно записать в виде

,                 (15.26)

так что, как только заданы силы, движение оказывается полностью определенным. В любой области, где , хотя бы  и не было равно нулю (например, вне соленоида), влияние  ни в чем не сказывается. Поэтому долгое время считалось, что  - не «реальное» поле. Оказывается, однако, что в квантовой механике существуют явления, свидетельствующие о том, что поле  на самом деле вполне «реальное» поле, в том смысле, в каком мы определили это слово. В следующем параграфе мы покажем, что все это значит.