§ 2. Сферические волны от точечного источника

В гл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой

                      (21.2)

и

,                 (21.3)

где  и  обязаны удовлетворять уравнениям

             (21.4)

и

                    (21.5)

и, кроме того, условию

.                    (21.6)

Найдем теперь решение уравнений (21.4) и (21.5). Для этого надо уметь решать уравнение

,              (21.7)

где величина  (которая называется источником) известна. Ясно, что для уравнения (21.4)  соответствует , a  - это , а для уравнения (21.5)  соответствует , если  - это , и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физический смысл  и .

Там, где  и  равны нулю (это место называется «пустотой»), там потенциалы  и  и поля  и  удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; математическая форма этого уравнения такова:

.                (21.8)

В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут представлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие в -направлении ; плоские волны, бегущие вдоль  или вдоль  или в любом другом направлении; сферические волны вида

.                  (21.9)

(Решения можно записать иначе - например в виде цилиндрических волн, разбегающихся от оси.)

Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) относится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки , где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник  в уравнении (21.7) должен вызвать волну тина (21.9).

Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и поглядим, во что она превращается при очень малых . Тогда запаздыванием  в  можно пренебречь, и поскольку функция  плавная,  превращается в

.                    (21.10)

Итак,  в точности похоже на кулоново поле заряда, расположенного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ начала координат и имеющего плотность ,

,

где . Такой потенциал  удовлетворяет уравнению

.

Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что  из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению

,                    (21.11)

где  связано с  формулой

при

.

Единственная разница в том, что в общем случае , а, стало быть, и  может оказаться функцией времени.

Далее очень важно то, что если  удовлетворяет (21.11) при малых , то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость  от  типа  приводит к тому, что пространственные производные становятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные  по времени.] Так что, когда  стремится к нулю, множителем  в уравнении (21.7) по сравнению с  можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравнению (21.11).

Подытоживая, можно сказать, что если функция источника  из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна

,                   (21.12)

то решение уравнения (21.7) имеет вид

.                        (21.13)

Влияние слагаемого с  в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания  в потенциале кулонова типа.