§ 3. Общее решение уравнений Максвелла

Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рассредоточенного источника? Ну, это решить легко; всякий источник  можно считать состоящим из суммы многих «точечных» источников, расположенных поодиночке в каждом элементе объема  и имеющих силу . Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет собой суперпозицию полей от всех таких элементов источника.

Используя результаты предыдущего параграфа [см. (21.13)], мы получим, что в момент  поле  в точке  [или, короче, в точке (1)], создаваемое элементом источника  в точке  [или, короче, в точке (2)], выражается формулой

,

где  – расстояние от (2) до (1). Сложение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей области, где , так что мы имеем

.                       (21.14)

Иначе говоря, поле в точке (1) в момент времени  представляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в момент  всеми элементами источника, расположенного в точке (2). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников.

Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла. Если подразумевать под  скалярный потенциал , то функция источника  превращается в . А можно считать, что  представляет одну из трех компонент векторного потенциала ; тогда  означает соответствующую компоненту . Стало быть, если во всех точках известна плотность зарядов  и плотность тока , то решения уравнений (21.4) и (21.5) можно выписать немедленно:

,                       (21.15)

.                       (21.16)

Поля  и  получатся дифференцированием потенциалов [используются выражения (21.2) и (21.3)]. Кстати, можно проверить явно, что  и , полученные из (21.15) и (21.16), действительно удовлетворяют равенству (21.6).

Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятельствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцировав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покончено. И это позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчитать электрическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с нашей прежней теорией света. Все, что нам остается сделать, - это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из , дифференцируя, найти . Мы должны получить формулу (21.1). Работы придется проделать много, но принцип ясен.

Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися зарядами, и многое, многое другое. Все сооружение, воздвигнутое Максвеллом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписываем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой.

Уравнения Максвелла: И их решения: