§ 4. Поля колеблющегося диполя

Мы пока еще не провели обещанного вывода формулы (21.1) для электрического поля движущегося точечного заряда. Даже зная то, что мы уже знаем, этот вывод все равно проделать нелегко. Нам не удалось обнаружить формулы (21.1) нигде, ни в каких книжках и статьях (кроме первых выпусков этих лекций). Это свидетельствует о том, что вывод ее не прост. (Поля движущегося заряда записывались неоднократно и в других видах, которые все, конечно, эквивалентны.) Мы ограничимся поэтому здесь тем, что просто покажем на нескольких примерах, что (21.15) и (21.16) приводят к тем же результатам, что и (21.1). Первым делом мы покажем, что при том единственном условии, что движение заряженной частицы является нерелятивистским, (21.1) приводит к правильной величине полей. (Уже этот частный случай покрывает 90% всего того, что было сказано о явлении света.)

Рассмотрим такую ситуацию, когда имеется сгусток зарядов, каким-то образом перемещающийся в небольшой области; требуется найти создаваемые им где-то вдалеке от этого места поля. Можно поставить вопрос и иначе: мы найдем поле на произвольном расстоянии от точечного заряда, который почти незаметно колеблется вверх и вниз. Поскольку свет обычно испускают такие нейтральные тела, как атомы, то мы будем считать, что наш колеблющийся заряд расположен вблизи неподвижного, равного по величине, но противоположного по знаку заряда. Если расстояние между центрами зарядов равно , то у зарядов появится дипольный момент , который мы будем считать функцией времени. Следует ожидать, что поблизости от зарядов запаздыванием поля можно будет пренебречь; электрическое поле будет в точности таким же, как и то, которое получалось раньше для электростатического диполя но, конечно, с мгновенным дипольным моментом . Однако при большом удалении в формуле для поля должно появиться добавочное слагаемое, которое меняется как и зависит от того, каково ускорение заряда в направлении, поперечном к лучу зрения. Посмотрим, получится ли у нас этот результат.

Начнем с вычисления векторного потенциала при помощи (2.16). Пусть плотность зарядов в сгустке есть и весь он движется все время со скоростью . Тогда плотность тока равна . Удобно систему координат расположить так, чтобы ось была направлена по ; тогда геометрия нашей задачи изобразится так, как показано на фиг. 21.2. Нас интересует интеграл

. (21.17)

Фиг. 21.2. Потенциалы в точке (1) даются интегралами от плотности заряда .

Если размеры заряда-сгустка на самом деле намного меньше, чем , то в знаменателе можно положить равным (расстоянию от центра сгустка) и вынести за знак интеграла. Кроме того, мы собираемся положить и в числителе , хотя это и не совсем верно. А неверно это потому, что на самом деле, скажем, полагается брать в верхней части сгустка совсем не в тот момент, когда в нижней, а немного в другое время. Полагая в , мы вычисляем плотность тока для всего сгустка в одно и то же время . Это приближение годится лишь тогда, когда скорость заряда много меньше . Мы, стало быть, ведем расчет в нерелятивистском случае. После замены на интеграл (21.17) превращается в

Раз скорость всех зарядов в сгустке одна и та же, этот интеграл просто равен , умноженному на общий заряд . Но - это как раз (скорость изменения дипольного момента), только надо ее, конечно, определять в более раннее время . Запишем эту величину так: . Итак, мы получаем для векторного потенциала

. (21.18)

Мы узнали, что ток в меняющемся диполе создает векторный потенциал в форме сферических волн, источник которых обладает силой .

Теперь из можно получить магнитное поле. Поскольку направлен по оси , у есть только -компонента; в роторе остаются только две ненулевые производные. Значит, и . Поглядим сперва на :

. (21.19)

Чтобы продифференцировать, вспомним, что , так что

. (21.20)

Но мы помним, что ; значит, первое слагаемое даст

, (21.21)

что убывает как , т. е. как поле статического диполя (потому что в данном направлении постоянно).

Второе слагаемое в (21.20) приводит к новому эффекту. Если провести в нем дифференцирование, то получится

, (21.22)

где – просто вторая производная по . Вот это-то получающееся от дифференцирования числителя слагаемое и ответственно за излучение. Во-первых, оно описывает поле, убывающее на расстоянии как , во-вторых, зависит от ускорения заряда. Теперь вам должно быть ясно, как мы собираемся получить формулу типа (21.1'), описывающую световое излучение.

Явление это настолько интересно и важно, что стоит немного подробнее разобраться в том, откуда берется это «радиационное» слагаемое. Мы начинали с выражения (21.18), зависящего от как и тем самым похожего на кулонов потенциал (если не обращать внимания на запаздывающий множитель в числителе). Почему же когда мы, желая получить поле, дифференцируем по пространственным координатам, то не получаем просто поля вида (конечно, с соответствующей временной задержкой)?

А вот почему. Представьте, что диполь приведен в колебательное движение вверх и вниз. Тогда

Если начертить график зависимости от в каждый данный момент, то получится кривая, показанная на фиг. 21.3. Амплитуда в пиках убывает как , но, кроме того, еще имеются пространственные колебания, которые ограничены огибающей вида . Пространственные производные в формуле пропорциональны наклону кривой. Из фиг. 21.3 видно, что встречаются намного более крутые наклоны, чем наклон самой кривой . Очевидно, что при данной частоте наклоны в пиках пропорциональны амплитуде волны, меняющейся как . Тем самым объясняется степень спадания радиационного слагаемого с расстоянием.

Фиг. 21.3. Зависимость величины от в момент для сферической волны от колеблющегося диполя.

Все это получается оттого, что временные вариации в источнике превращаются в пространственные вариации, когда волны начинают разбегаться в стороны, магнитные же поля зависят от пространственных производных потенциала.

Теперь возвратимся назад и закончим наши расчеты магнитного поля. Для мы получили (21.21) и (21.22). Поэтому

. (21.1')

С помощью точно таких же выкладок мы придем к

И все это можно объединить в одну красивую векторную формулу:

. (21.23)

А теперь взгляните на нее. Прежде всего на больших удалениях (когда велико) следует принимать в расчет только . Направление дается вектором , перпендикулярным и к радиусу , и к ускорению (фиг. 21.4). Все сходится с тем, что получилось бы из формулы (21.1').

Фиг. 21.4. Поля излучения и колеблющегося диполя.

Теперь посмотрите (к этому мы не привыкли) на то, что происходит поблизости от заряда. В гл. 14, § 7 (вып. 5) мы вывели закон Био и Савара для магнитного поля элемента тока. Мы нашли, что элемент тока привносит в магнитное поле следующий вклад:

. (21.24)

Вы видите, что эта формула с виду очень похожа на первое слагаемое в (21.23), если только вспомнить, что – это ток. Но разница все же есть. В (21.23) ток надо подсчитывать в момент , а в (21.24) этого нет. На самом деле, однако, (21.24) для малых все еще годится, потому что второе слагаемое в (21.23) стремится уничтожить эффект запаздывания из первого слагаемого. Вместе оба они приводят при малых к результату, очень близкому к (21.24).

В этом можно убедиться следующим образом. Когда мало, не очень отличается от , и в (21.23) скобки можно разложить в ряд Тэйлора. Первый член разложения дает

и т.д.

и в том же порядке по

Если их сложить, члены с уничтожатся и слева останется незапаздывающий ток , т. е. плюс члены порядка и выше [например, ]. Эти члены при достаточно малых (малых настолько, что за время ток заметно не меняется) будут очень малы.

Стало быть, (21.23) приводит к полям, очень похожим на те, которые дает теория с мгновенным действием, гораздо более похожим на них, чем на поля теории с мгновенным действием и с задержкой; эффекты задержки первого порядка компенсируются вторым членом. Статические формулы очень точны, намного более точны, чем вам могло бы показаться. Конечно, компенсация чувствуется только вблизи от заряда. Для далеких точек эти поправки уже ничего не спасают, потому что временное запаздывание приводит к очень большим эффектам и в конечном счете к важному члену – к эффекту излучения.

Перед нами все еще стоит задача расчета электрического поля и доказательства того, что оно совпадает с (21.1'). Правда, уже чувствуется, что на больших расстояниях ответ получится такой, как надо. Мы знаем, что вдали от источников, где возникает распространяющаяся волна, перпендикулярно к (и к ), как на фиг. 21.4, и что . Значит, пропорционально ускорению , как и предсказывалось формулой (21.1').

Чтобы получить электрическое поле на всех возможных расстояниях, нужно найти электростатический потенциал. Когда мы подсчитывали интеграл токов для , желая получить (21.18), то сделали приближение: мы пренебрегли малозаметным изменением в члене с запаздыванием. Для электростатического потенциала этого делать нельзя, потому что тогда у нас получилось бы , умноженное на интеграл от плотности заряда, т. е. на константу. Такое приближение чересчур грубо. Надо обратиться к высшим порядкам. И вместо того, чтобы путаться в этих прямых расчетах высших приближений, можно поступить иначе – определить скалярный потенциал из равенства (21.6), используя уже найденное значение векторного потенциала. Дивергенция в этом случае просто равна , поскольку и тождественно равны нулю. Дифференцируя точно так же, как это делалось выше при вычислении , получаем

Или в векторных обозначениях

Из равенства (21.6) получается уравнение для :

Интегрирование по просто убирает надо всеми по одной точке:

. (21.25)

(Постоянная интегрирования отвечала бы некому наложенному статическому полю, которое, конечно, может существовать, но мы считаем, что у выбранного нами колеблющегося диполя статического поля нет.) Теперь мы можем из

найти электрическое поле . После утомительных (хоть и прямых) выкладок [при этом нужно помнить, что и его производные по времени зависят от , и через запаздывание ] мы получаем

, (21.26)

где

. (21.27)

Это выглядит довольно сложно, но интерпретируется просто. Вектор - это дипольный момент с запаздыванием и с «поправкой» на запаздывание, так что два члена с в (21.26) при малых дают просто статическое поле диполя [см. гл. 6 (вып. 5), выражение (6.14)]. Когда велико, то член с преобладает над остальными, и электрическое поле пропорционально ускорению зарядов в направлении поперек и само направлено вдоль проекции на плоскость, перпендикулярную к .

Этот результат согласуется с тем, что мы получили бы, применяя формулу (21.1'). Конечно, эта формула – более общая; она годится для любого движения, а не только для малозаметных движении, для которых запаздывание в пределах всего источника можно считать постоянным [как (21.26)]. Во всяком случае, теперь мы укрепили столбами все наше прежнее изложение свойств света, за исключением лишь некоторых вопросов из гл. 34 (вып. 3), которые связаны с последней частью выражения (21.26). Мы можем теперь перейти к получению поля быстродвижущихся зарядов. Это приведет нас к релятивистским эффектам [гл. 34 (вып. 3)].