§ 3. Четырехмерный градиент

Следующей величиной, которую нам следует обсудить, является четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования , ,  преобразуются подобно трехмерному вектору и называются градиентом. Та же схема должна работать и в четырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмерным градиентом должны быть , но это неверно.

Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функцию, которая зависит только от  и . Приращение  при малом изменении  на  и постоянном  равно

.              (25.13)

С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя

.

Используя уравнение (25.1), мы можем выразить  и  через . Вспоминая теперь, что величина  постоянна, так что , мы пишем

.

Таким образом,

.

Сравнивая этот результат с (25.13), мы узнаем, что

.               (25.14)

Аналогичные вычисления дают

.               (25.15)

Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для  и  через  и  [полученные решением уравнений (25.1)] имеют вид

.

Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными!

Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента  правильным:

.                 (25.16)

Мы его обозначим . Для такого  трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что  «ведет себя как четырехвектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент скалярной функции есть четырехвектор. Если  - настоящее скалярное (лоренц-инвариантное) поле, то  будет четырехвекторным полем.

Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди - инвариант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном анализе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение , где  - векторное поле, компоненты которого являются функциями пространства и времени. Мы определим дивергенцию четырехвектора  как скалярное произведение  на :

,                  (25.17)

где  - обычная трехмерная дивергенция вектора . Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения [формула (25.7)], а другой возникает от пространственных компонент  [формула (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.

Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда  и плотность тока  образуют четырехвектор . Если незаряженный провод переносит ток , то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью  (вдоль оси ), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону преобразований Лоренца (25.1)]:

.

Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.

Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора :

.                (25.18)

Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,

.

Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:

.                  (25.19)

Благодаря тому что  - инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.

В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента  на себя. В трехмерном пространстве такое произведение даёт лапласиан

.

Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим

.

Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным символом

.                     (25.20)

По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]

Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.

Таблица 25.2 ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТРЕХМЕРНОГО И ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

	Трехвекторы	Четырехвекторы
Вектор
Скалярное произведение
Векторный дифференциальный оператор
Градиент
Дивергенция
Лапласиан и даламбертиан