§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях

В гл. 18, § 6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифференциальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозначениях выглядит так:

.                (25.21)

С правой стороны (25.21) стоят четыре величины , , , , поделенные на  - универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измерения заряда используется одна и та же единица. Таким образом, четыре величины , , , , тоже преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде . Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам координат, так что четыре величины , ,  и  тоже должны преобразоваться как четырехвектор, т. е. должны быть компонентами четырехвектора. Короче говоря, величина

,

есть четырехвектор. То, что мы называли скалярным и векторным потенциалами, оказывается только разными частями от одной и той же физической величины. Они неотделимы друг от друга. А если это так, то релятивистская инвариантность мира очевидна. Вектор  мы называем четырехмерным потенциалом (4-потенциалом).

В четырехмерных обозначениях (25.21) приобретает очень простой вид:

.               (25.22)

Физика этого уравнения та же, что и уравнений Максвелла. Но есть своя прелесть в том, что можно переписывать их в столь элегантной форме. Впрочем, эта красивая форма содержит и кое-что более значительное - из нее непосредственно видна инвариантность электродинамики относительно преобразований Лоренца.

Напомним, что уравнение (25.21) можно получить из уравнений Максвелла только тогда, когда наложено дополнительное условие градиентной инвариантности:

,                      (25.23)

что означает просто , т. е. условие градиентной инвариантности говорит, что дивергенция четырехмерного вектора  равна нулю. Это требование носит название условия Лоренца. Такая форма его записи очень удобна, ибо она инвариантна, а поэтому уравнения Максвелла во всех системах отсчета сохраняют вид (25.22).