§ 3. Повороты вокруг оси z

Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матрицу преобразования , связывающую два разных представления. Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси . Пусть имеются два прибора  и , поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрит из страницы на вас (фиг. 4.4, а). Это их направление мы примем за ось . Ясно, что если пучок в приборе  идет вверх , что то же будет и в аппарате . Точно так же, если он в  идет вниз, то и в  он направится вниз. Положим, однако, что прибор  был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора , как на фиг. 4.4, б. Интуитивно, хочется сказать, что пучок  в  будет по-прежнему переходить в пучок  в , потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок  в  будет переходить в пучок  в . Тот же результат применим для любой ориентации  в плоскости  прибора . Что же отсюда следует для связи между  и ? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси  «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды  пребывания «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать  и . Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить, — это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов  и  одинаковы, т. е.

 и .

Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору , не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.

Фигура 4.4. Поворот на 90° вокруг оси .

Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле отличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором  поставили другой, создающий чистое -состояние. (Ось  направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в  на пучки  и , но на выходе  (в точке ) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливали состояние . Затем то же самое происходило бы в . Если бы за  поставить третий прибор , ось которого направлена по , как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы дошли бы в пучок  прибора . Теперь представим, что произойдет, если  и  вместе повернуть на , как показано на фиг. 4.5, б. Прибор  опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в , будут в состоянии по отношению к . Но  теперь анализирует состояние  (по отношению к ), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)

'Фигура 4.5. Частица в состоянии  ведет себя в опытах а и б по-разному.

Что же могло перемениться? Приборы  и  по отношению друг к другу расположены одинаково. Могла ли измениться физика просто из-за того, что  и  иначе ориентированы? Нет, гласит наше первоначальное предположение. Значит, различаться в двух случаях, показанных на фиг. 4.5, должны амплитуды по отношению к . То же должно быть, следовательно, и на фиг. 4.4. Частица должна как-то уметь узнавать, что в  она завернула за угол. Как же она может об этом поведать? Что ж, остается только одно: величины  и  в обоих случаях одинаковы, но могут — а на самом деле должны — обладать разными фазами. Мы приходим к заключению, что  и  должны быть связаны формулой

,

а  и  — формулой

,

где  и  — вещественные числа, которые как-то должны быть связаны с углом между  и .

В данный момент единственное, что мы можем сказать про  и , — это то, что они не могут быть равны друг другу (кроме показанного на фиг. 4.5, а особого случая, когда  и  ориентированы одинаково). Мы видели, что изменение всех амплитуд на одну и ту же фазу ни к каким физическим следствиям не приводит. По той же причине всегда можно добавить к  и  любое постоянное число — это тоже ничего не изменит. Значит, нам представляется возможность выбрать  и  равными плюс и минус одному и тому же числу. Всегда можно взять

Тогда

Итак, мы договоримся считать  и придем к общему правилу, что поворот прибора, относительно которого ведется отсчет, вокруг оси  на какой-то угол приводит к преобразованию

                (4.16)

Абсолютные значения одинаковы, а фазы различны. Эти-то фазовые множители и отвечают за различные результаты двух опытов, показанных на фиг. 4.5.

Теперь надо узнать закон, связывающий  с углом между  и . Для одного случая ответ известен. Если угол — нуль, то и  — нуль. Теперь предположим, что фазовый сдвиг  есть непрерывная функция угла  между  и  (см. фиг. 4.4) при , стремящемся к нулю. По-видимому, это единственное разумное допущение. Иными словами, если свернуть  с прямой линии  на малый угол , то и  тоже будет малым числом, скажем , где  — некоторый коэффициент. Мы пишем , потому что можем доказать, что  обязано быть пропорционально е. Если бы мы поставили за новый прибор , тоже образующий с  угол , а с  тем самым образующий угол , то по отношению к  мы бы имели

а по отношению к

Но мы знаем, что должны были бы получить тот же результат если бы сразу за  поставили ! Значит, когда угол удваивается, то удваивается и фаза. Эти аргументы мы можем, естественно, обобщить и построить любой поворот из последовательных бесконечно малых поворотов. Мы заключаем, что  пропорционально  для любого угла . Поэтому всегда можно писать .

Общий полученный нами результат состоит, следовательно, в том, что для , повернутого вокруг оси  относительно  на угол ,

                          (4.17)

Для угла  и для всех поворотов, которые встретятся нам в будущем, мы условимся считать, что положительным поворотом будет поворот правого винта, который ввинчивается в положительном направлении .

Теперь остается узнать, каким должно быть . Попробуем сперва следующее рассуждение: пусть  повернулся на ; ясно, что тогда он опять очутится под нулем градусов, и мы должны будем иметь  и , или, что то же самое, . Мы получаем . Это рассуждение не годится!

Чтобы убедиться в этом, допустим, что  повернут на . Если бы  было равно единице, мы получили бы  и . Но это просто опять получилось первоначальное состояние. Обе амплитуды попросту умножены на ; это возвращает нас к исходной физической системе. (Опять случай всеобщей перемены фаз.) Это означает, что если угол между  и  на фиг. 4.5, б увеличивается на , то система (по отношению к ) оказывается неотличимой от случая  и частицы должны опять проходить через состояние  прибора . Но при  состояние  прибора  — это состояние  начального прибора . Так что состояние  станет состоянием . Но мы-то ведь ничего не делали для изменения начального состояния; ответ поэтому ошибочен. Не может быть, чтобы .

Нет, все должно быть иначе: надо, чтобы только поворот на  (и ни на какие меньшие углы) воспроизводил то же самое физическое состояние. Это случится при . Тогда и только тогда первым углом, воспроизводящим то же самое физическое состояние, будет угол . При этом будет

                              (4.18)

Очень курьезно вдруг обнаружить, что поворот прибора на  приводит к новым амплитудам. Но на самом деле они не новы, потому что одновременная перемена знака ни к какой новой физике не приводит. Если кто-нибудь задумает переменить все знаки у всех амплитуд, подумав, что он повернулся на , то это его дело — физику он получит ту же, прежнюю. Итак, наш окончательный ответ таков: если мы знаем амплитуды  и  для частиц со спином  по отношению к системе отсчета  и если затем мы используем базисную систему, связанную с  ( получается из  поворотом на  относительно оси ), то новые амплитуды выражаются через старые так:

                                (4.19)