§ 4. Повороты на 180 и на 90 вокруг оси у

Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота (по отношению к ) на вокруг оси, перпендикулярной к оси , скажем вокруг оси . (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, , переворачивается относительно первого, , «вверх ногами» (фиг. 4.6). Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к в минус-состоянии. (В перевернутом приборе переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для было «верхом», то для будет «низом». Для такого относительного расположения и преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что

(4.20)

где и еще подлежат определению.

Фигура 4.6. Поворот на вокруг оси .

А что можно сказать о повороте вокруг оси на угол ? Мы уже знаем ответ для поворота на вокруг оси : амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на должен быть таким же, как и при повороте на вокруг оси , — все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на вокруг оси по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,

и (4.21)

Это означает, что

Следовательно, преобразование для поворота на вокруг оси может быть записано так:

(4.22)

Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в равной степени применимы к поворотам на вокруг любой оси в плоскости , хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для разные числа. Но это единственное, чем они могут отличаться. В числе имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости , оно определяется и для всех прочих осей. Принято выбирать для поворотов на вокруг оси .

Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что не равно нулю для поворота вокруг оси ; тогда можно показать, что в плоскости существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель для оси , образующей с осью угол , как показано на фиг. 4.7, а. (Для удобства на рисунке угол отрицателен, но это неважно.) Если теперь мы возьмем прибор , первоначально направленный так же, как и , а потом повернем его вокруг оси на , то его оси — назовем их — расположатся так, как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к тогда станут

(4.23)

Фигура 4.7. Поворот на вокруг оси эквивалентен повороту на вокруг оси , за которым следует поворот вокруг оси .

Но той же самой ориентации можно добиться двумя последовательными поворотами, показанными на фиг. 4.7, б и в. Возьмем сначала прибор , повернутый по отношению к на вокруг оси . Оси и прибора будут такими, как на фиг. 4.7, б, а амплитуды по отношению к будут даваться формулой (4.22).

Заметьте теперь, что от к можно перейти, повернув прибор вокруг «оси », т. е. вокруг , как показано на фиг. 4.7, в. Из рисунка видно, что требуемый угол вдвое больше угла , но направлен в обратную сторону (по отношению к ). Используя преобразование (4.19) с , получаем

(4.24)

Подставляя (4.22) в (4.24), получаем

(4.25)

Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23). Значит, должно быть связано с и формулой

(4.26)

Это означает, что если угол между осью и осью (прибоpa ) равен , то в преобразовании поворота на вокруг оси будет стоять .

Но коль скоро у какой-то из осей, перпендикулярных к оси , может оказаться , то ничто не метает принять эту ось за ось . Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на вокруг оси мы имеем

(4.27)

Продолжая размышлять о поворотах вокруг оси , перейдем теперь к матрице преобразования для поворотов на . Мы в состоянии установить ее вид, оттого что знаем, что два последовательных поворота на вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на . Напишем преобразование для в самой общей форме:

(4.28)

Второй поворот на вокруг той же оси обладал бы теми же коэффициентами:

(4.29)

Подставляя (4.28) в (4.29), получаем

(4.30)

Однако из (4.27) нам известно, что

так что должно быть

(4.31)

Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные и . Сделать это нетрудно. Посмотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что , откуда либо , либо . Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Значит, . А тогда сразу же выходит и . Теперь все выражено через . Подставляя, скажем, во второе уравнение значения и , получаем