§ 5. Повороты вокруг оси x
Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить — поворотам на
вокруг оси
, потом на
вокруг
? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказывается, я почти все рассказал. Зная только два преобразования — на
вокруг оси
и на произвольный угол вокруг оси
(как вы помните, именно с этого мы начали), — мы уже способны производить любые повороты.
Для иллюстрации предположим, что нас интересует поворот на угол
вокруг оси
. Мы знаем, как быть с поворотом на угол
вокруг оси
, но нам нужен поворот вокруг оси
. Как его определить? Сперва повернем ось
вниз до оси
, а это есть поворот на
вокруг оси
(фиг. 4.8). Затем вокруг оси
повернемся на угол
. А потом повернемся на +90° вокруг оси
. Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси
на угол
. Таково свойство пространства.

Фигура 4.8. Поворот на угола вокруг оси
равнозначен повороту на
вокруг оси
, за которым следует поворот на
вокруг оси
, вслед за которым происходит поворот на
вокруг оси
.
(Все эти сочетания поворотов и их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи.)
Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол
вокруг оси
, пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на
вокруг оси
амплитуды следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить
и
, то последующий поворот на угол
вокруг оси
, переводит нас в систему отсчета
, для которой

Последний поворот на
вокруг оси
переводит нас в систему
; из (4.33) следует

Сочетая эти два последних преобразования, получаем

Подставляя сюда вместо
и
(4.32), придем к полному преобразованию

А если вспомнить, что
,
то эти формулы можно записать проще:
(4.34)
Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси
на любой угол
. Оно лишь чуть посложнее остальных.