§ 5. Повороты вокруг оси x

Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить — поворотам на  вокруг оси , потом на  вокруг ? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказывается, я почти все рассказал. Зная только два преобразования — на  вокруг оси  и на произвольный угол вокруг оси  (как вы помните, именно с этого мы начали), — мы уже способны производить любые повороты.

Для иллюстрации предположим, что нас интересует поворот на угол  вокруг оси . Мы знаем, как быть с поворотом на угол  вокруг оси , но нам нужен поворот вокруг оси . Как его определить? Сперва повернем ось  вниз до оси , а это есть поворот на  вокруг оси  (фиг. 4.8). Затем вокруг оси  повернемся на угол . А потом повернемся на +90° вокруг оси . Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси  на угол . Таково свойство пространства.

Фигура 4.8. Поворот на угола вокруг оси  равнозначен повороту на  вокруг оси , за которым следует поворот на  вокруг оси , вслед за которым происходит поворот на  вокруг оси .

(Все эти сочетания поворотов и их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если бы мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи.)

Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол  вокруг оси , пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на  вокруг оси  амплитуды следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить  и , то последующий поворот на угол  вокруг оси , переводит нас в систему отсчета , для которой

Последний поворот на  вокруг оси  переводит нас в систему ; из (4.33) следует

Сочетая эти два последних преобразования, получаем

Подставляя сюда вместо  и  (4.32), придем к полному преобразованию

А если вспомнить, что

,

то эти формулы можно записать проще:

                            (4.34)

Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси  на любой угол . Оно лишь чуть посложнее остальных.