§ 6. Произвольные повороты

Теперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9). Если есть система осей , ориентированных относительно  как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера  и , определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему  в систему . Отправляясь от , мы поворачиваем нашу систему на угол  вокруг оси , перенося ось  на линию . Затем мы проводим поворот на угол  вокруг этой временной оси , чтобы довести ось  до . Наконец, поворот вокруг новой оси  (т. е. вокруг ) на угол  переведет ось  в , а ось  в . Мы знаем преобразования для каждого из трех поворотов — они даются формулами (4.19) и (4.34). Комбинируя их в нужном порядке, получаем

                         (4.35)

Фигура 4.9. Ориентацию любой системы координат  по отношению к другой системе  можно определить с помощью углов Эйлера .

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином  перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха  с осями , то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе  с осями  и . Иначе говоря, если имеется состояние  частицы со спином , у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси  системы координат  равны  и , то тем самым мы знаем амплитуды  и  пребывания вверху и внизу по отношению к оси  любой другой системы . Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином  в другие системы координат.

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином  через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние . Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии ? Ось  — это все равно, что ось  системы, повернутой на  вокруг оси . Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить  и полное уравнение (4.35). Поскольку  и , то получится . Вероятности — это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом,  шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние . Если бы мы поинтересовались состоянием , то амплитуда оказалась бы , что опять дало бы вероятность , чего и следовало ожидать из симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии , то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях  и . Но фазы противоположны.

Фигура 4.10. Ось  , определяемая полярными углами  и .

Ось  тоже без претензий. Частица в состоянии  имеет равные шансы быть в состоянии  или . Но теперь (согласно формуле для поворота на  вокруг оси ) амплитуды суть  и . В этом случае разница в фазах двух амплитуд уже не  как было для  и , а . В этом-то и проявляется различие между  и .

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином  находится в состоянии , поляризованном вверх Относительно оси , определяемой углами  и  (фиг. 4.10). Мы хотим знать амплитуду  того, что частица относительно оси  окажется в состоянии «вверх», и амплитуду  того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси . Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что  есть ось  системы, у которой ось  направлена произвольно, скажем лежит в плоскости, образованной  и . Тогда можно перевести систему  в систему  тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на  вокруг оси , что переведет ось  в линию  на рисунке. Затем повернуть на —  вокруг линии  (вокруг новой оси  системы ), чтобы ось  попала на ось . И, наконец, повернуть вокруг оси  на угол .

Вспоминая, что вначале было только одно состояние  по отношению к , получаем

                          (4.36)

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей дальнейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной результат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35) — это то же самое, что и (4.4) Иначе говоря, в (4.35) коэффициенты при  и  суть как раз амплитуды  в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии  по отношению к  окажется в состоянии  по отношению к  (когда ориентация  по отношению к  дается углами  и ). Мы их также называли  в выражении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например, - это коэффициент при  в формуле для , а именно . Поэтому сводку наших результатов мы можем дать в виде табл. 4.1.

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть  — поворот на угол  вокруг оси . Так же можно обозначить и соответствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразумеваемые индексы  и ). В том же смысле  и  будут обозначать повороты на угол  вокруг оси  и оси .

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд , которые проецируют амплитуды из системы  в систему , где  получается из  указанным поворотом.

Таблица 4.1. Амплитуды  для поворота определяемого углами Эйлера  (фиг. 4.9)

Таблица 4.2. Амплитуды  для поворота  на угол  вокруг одной из осей