§ 4. Силы; классический предел
Предположим, что частица движется сквозь область, где есть потенциал, меняющийся поперек движения. Классически мы бы описали этот случай так, как показано на фиг. 5.7. Если частица движется в направлении
и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль
, то частица получит поперечное ускорение от силы
. Если сила присутствует только в ограниченной области шириной
, то она будет действовать только в течение времени
. Частица получит поперечный импульс

Тогда угол отклонения
будет равен
,
где
— начальный импульс. Подставляя вместо
число
, получаем
(5.26)

Фигура 5.7. Отклонение частицы поперечным градиентом потенциала.
Теперь нам предстоит выяснить, удастся ли получить этот результат с помощью представления о том, что волны подчиняются уравнению (5.20). Мы рассмотрим то же самое явление квантовомеханически, предполагая, что все масштабы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд вероятности. В любой маленькой области можно считать, что амплитуда меняется как
(5.27)
В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у
будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероятности. Мы начертили ряд «узлов воли», которые вы можете считать, скажем, поверхностями, где фаза амплитуды равна нулю. В любой небольшой области длина волны (расстояние между соседними узлами ) равна
,
где
связано с
формулой
(5.28)

Фигура 5.8. Амплитуда вероятности в области с поперечным градиентом потенциала.
В области, где
больше, там
меньше, а волны длиннее. Поэтому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке.
Чтобы найти изменение наклона линий узлов волн, заметим, что на двух путях
и
имеется разность потенциалов
, а значит, и разница
между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28):
(5.29)
Волновое число
поэтому тоже на разных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью. Разница в скорости роста фазы есть
, и накопленная на всем пути
разность фаз будет равна
(5.30)
Это число показывает, на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути
«опережает» фазу вдоль пути
. Но на выходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла волны на величину
,
или
(5.31)
Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повернется на угол
, даваемый формулой
, (5.32)
так что мы имеем
(5.33)
А это совпадает с (5.26), если заменить
на
, a
на
.
Результат, который мы только что получили, верен лишь, когда потенциал меняется медленно и плавно — в так называемом классическом пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, что получились бы и из
, если предположить, что потенциал дает вклад в фазу амплитуды вероятности, равный
. В классическом пределе квантовая механика оказывается в согласии с ньютоновской механикой.