§ 5. «Прецессия» частицы со спином 1/2

Заметьте, что мы не предполагали, что потенциальная энергия у нас какая-то особая, это просто энергия, производная от которой дает силу. Например, в опыте Штерна — Герлаха энергия имела вид ; отсюда при наличии у  пространственной вариации и получалась сила. Если бы нам нужно было кнантокомехаиическое описание опыта, мы должны были бы сказать, что у частиц в одном пучке энергия меняется в одну сторону, а в другом пучке — в обратную сторону. (Магнитную энергию  можно было бы вставить либо в потенциальную энергию , либо во «внутреннюю» энергию ; куда именно, совершенно неважно.) Из-за вариаций энергии волны преломляются, пучки искривляются вверх или вниз. (Мы теперь знаем, что квантовая механика предсказывает то же самое искривление, которое следует и из расчета по классической механике.)

Из зависимости амплитуды от потенциальной энергии также следует, что у частицы, сидящей в однородном магнитном поле, направленном по оси , амплитуда вероятности обязана меняться во времени по закону

(Можно считать это просто определением .) Иначе говоря, если поместить частицу в однородное поле  на время , то ее амплитуда вероятности умножится на

сверх того, что было бы без поля. Поскольку у частицы со спином  величина  может быть равна плюс или минус какому-то числу, скажем , то у двух мыслимых состояний в однородном поле фазы будут меняться с одинаковой скоростью в противоположные стороны. Амплитуды помножатся на

                                             (5.34)

Этот результат приводит к интересным следствиям. Пусть частица со спином  находится в каком-то состоянии, которое не есть ни чистое состояние со спином вверх, ни чистое состояние со спином вниз. Его можно описать через амплитуды пребывания в этих двух состояниях. Но в магнитном поле у этих двух состояний фазы начнут меняться с разной скоростью. И если мы поставим какой-нибудь вопрос насчет амплитуд, то ответ будет зависеть от того, сколько времени частица провела в этом поле.

В виде примера рассмотрим распад мюона в магнитном поле. Когда мюоны возникают в результате распада мезонов, они оказываются поляризованными (иными словами, у них есть предпочтительное направление спина). Мюоны в свою очередь распадаются (в среднем через ), испуская электрон и пару нейтрино:

При этом распаде оказывается, что (по крайней мере при высоких энергиях) электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению спина мюона.

Допустим затем, что имеется экспериментальное устройство (фиг. 5.9): поляризованные мюоны входят слева и в блоке вещества  останавливаются, а чуть позже распадаются. Испускаемые электроны выходят, вообще говоря, во всех мыслимых направлениях. Представим, однако, что все мюоны будут входить в тормозящий блок  так, что их спины будут повернуты в направлении . Без магнитного поля там наблюдалось бы какое-то угловое распределение направлений распада; мы же хотим знать, как изменилось бы это распределение при наличии магнитного поля. Можно ожидать, что оно как-то будет меняться со временем. То, что получится, можно узнать, спросив, какой будет в каждый момент амплитуда того, что мюон обнаружится в состоянии .

Фигура 5.9. Опыт с распадом мюона.

Эту задачу можно сформулировать следующим образом: пусть известно, что в момент  спин мюона направлен по ; какова амплитуда того, что в момент  он окажется в том же состоянии? И хотя мы не знаем правил поведения частицы со спином  в магнитном поле, перпендикулярном к спину, но зато мы знаем, что бывает с состояниями, когда спины направлены вверх или вниз по полю, — тогда их амплитуды умножаются на выражение (5.34). Наша процедура тогда будет состоять в том, чтобы выбрать представление, в котором базисные состояния — это направления спином «верх или спином вниз относительно  (относительно направления поля). И любой вопрос тогда сможет быть выражен через амплитуды этих состояний.

Пусть  представляет состояние мюона. Когда он входит в блок , его состояние есть , а мы хотим знать  в более позднее время . Если два базисных состояния обозначить  и , то нам известны амплитуды  и  — они известны потому, что мы знаем, что  представляет собой состояние со спином в направлении . Ив предыдущей главы следует, что эти амплитуды равны

                            (5.35)

Они оказываются одинаковыми. Раз они относятся к положению при , обозначим их  и .

Далее, мы знаем, что из этих двух амплитуд получится со временем. Из (5.34) следует

                     (5.36)

Но если нам известны  и , то у нас есть все, чтобы знать условия в момент . Надо преодолеть только еще одно затруднение: нужна-то нам вероятность того, что спин (в момент ) окажется направленным по . Но наши общие правила учитывают и эту задачу. Мы пишем, что амплитуда пребывания в состоянии  в момент  [обозначим ее ] есть

,

или

                                (5.37)

Опять пользуясь результатом последней главы (или лучше равенством  из гл. 3). мы пишем

Итак, в (5.37) все известно. Мы получаем

,

или

Поразительно простой результат! Заметьте: ответ согласуется с тем, что ожидалось при . Мы получаем , и это вполне правильно, потому что сперва и было предположено, что при  мюон был в состоянии .

Вероятность  того, что мюон окажется в состоянии  в момент , есть , т. е.

Вероятность колеблется от нуля до единицы, как показано на фиг. 5.10. Заметьте, что вероятность возвращается к единице при  (а не при ). Из-за того что косинус возведен в квадрат, вероятность повторяется с частотой .

Фигура 5.10 Временная зависимость вероятности того, что частица со спином  окажется в состоянии  по отношению оси .

Итак, мы обнаружили, что шанс поймать в электронном счетчике, показанном на фиг. 5.9, распадный электрон периодически меняется с величиной интервала времени, в течение которого мюон сидел в магнитном поле. Частота зависит от магнитного момента . Именно таким образом и был на самом деле измерен магнитный момент мюона.

Тем же методом, конечно, можно воспользоваться, чтобы ответить на другие вопросы, касающиеся распада мюона. Например, как зависит от времени  шанс заметить распадный электрон, в направлении , под  к направлению , но по-прежнему под прямым углом к полю? Если вы решите эту задачу, то увидите, что вероятность оказаться в состоянии  меняется как ; она колеблется с тем же периодом, но достигает максимума на четверть цикла позже, когда . На самом-то деле происходит вот что: с течением времени мюон проходит через последовательность состояний, отвечающих полной поляризации в направлении, которое непрерывно вращается вокруг оси . Это можно описать, говоря, что спин прецессирует с частотой

                              (5.38)

Вам должно становиться понятно, в какую форму выливается квантовомеханическое описание, когда мы описываем поведение чего-либо во времени.