Глава 6. Гамильтонова матрица

§ 1. Амплитуды и векторы

Прежде чем приступить к основной теме этой главы, мы хотели бы изложить несколько математических идеи, которые часто встречаются в книгах по квантовой механике. Знание их облегчит вам чтение других книг или статей по этому предмету. Первая идея — это тесное математическое подобие между уравнениями квантовой механики и формулами для скалярного произведения двух векторов. Вы помните, что если  и  — два состояния, то амплитуда начать в  и кончить в  может быть записана в виде суммы (по полной совокупности базисных состояний) амплитуд перехода из  в одно из базисных состояний и затем из этого базисного состояния уже в :

                                   (6.1)

Мы объясняли это при помощи прибора Штерна — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1) — это математический закон, который верен всегда, все равно, есть ли у нас фильтровальное оборудование или нет; вообще совсем не обязательно воображать наличие какого-то прибора. Можно рассматривать это просто как формулу для амплитуды .

Сопоставим (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов  и . Если  и  — обычные трехмерные векторы, то скалярное произведение можно написать так:

,                   (6.2)

считая, что символ  обозначает любой из трех единичных векторов в направлениях  и . Тогда  — это то, что обычно называют , а  — то, что обычно называют , и т. д. Значит, (6.2) эквивалентно

,

а это и есть скалярное произведение .

Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния  и  соответствуют двум векторам  и . Базисные состояния  отвечают специальным векторам , к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векторов» . Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компоненты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантово-механическое состояние может быть полностью описано амплитудами  перехода в базисные состояния, и если эти коэффициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния».

Раз базисные векторы  перпендикулярны друг другу, то существует соотношение

                                           (6.3)

Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями

                                            (6.4)

Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния  все «ортогональны друг другу».

Между (6.1) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас

,                                    (6.5)

а в векторной алгебре

В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.

Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:

                                                        (6.6)

оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и

                           (6.7)

Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это просто число, a (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем  по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):

                                              (6.8)

Скобку  представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку  называют , а первую  называют  (поставленные рядом они образуют  — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы  и  также называют векторами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.

До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа

всегда можно написать

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора . Но если оно верно для любого , то едва ли имеет смысл вообще писать это !

Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых . Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать  и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое  по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1), — ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то , которое вам нужно.

Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на ? Раз (6.8) справедливо при любом , зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от , так что остается только

                                       (6.9)

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния  и  с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.