§ 2. Разложение, векторов состояний

Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния  может быть представлен в виде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты  — это просто обычные (комплексные) числа, напишем

Тогда (6.8) совпадает с

                                      (6.10)

Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для , но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с . Тогда будем иметь

                                     (6.11)

где  — это просто амплитуды .

Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от . Тогда мы бы имели

                                 (6.12)

Вспоминая, что , можно записать это в виде

                                    (6.13)

А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить  можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):

Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем

                        (6.14)

Вспомните, однако, что , так что в сумме останутся только члены . Выйдет

,                                (6.15)

где, как вы помните, , а . Опять мы являемся свидетелями   тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что , нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний  и  по базисным векторам  или , то амплитуда перехода из  в  дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы  квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.

Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии , затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии , то результат будет описываться амплитудой

                                             (6.16)

Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:

                   (6.17)

Это пример двукратного применения основного правила (6.9).

Мы обнаружили также, что если вслед за прибором  поставить другой прибор , то можно написать

                           (6.18)

Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6.9). Вспомните, что между  и  всегда можно поставить черту , которая ведет себя совсем как множитель единица.

Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор  в состоянии  и выходящей из него в состоянии . Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние , чтобы амплитуда перехода от  к  тождественно совпадала с амплитудой ? Ответ гласит; да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением

                        (6.19)

Конечно, этого можно достичь, если взять

,                             (6.20)

что и определяет собой . «Но оно не определяет собой , — скажете вы, — оно определяет только . Однако  все же определяет ; ведь если у вас есть все коэффициенты, связывающие  с базисными состояниями , то  определяется однозначно. И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и записать (6.20) в виде

                     (6.21)

А раз это уравнение справедливо при всех , то можно просто писать

                           (6.22)

Теперь мы вправе сказать: «Состояние  — это то, что получается, если начать с  и пройти сквозь аппарат ».

Еще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз это уравнение соблюдается при любых  и , то их обоих можно сократить! Получаем

                           (6.23)

Что это значит? Только то, что получится, если вернуть на свои места  и . В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» на . то оно превращается в

,                 (6.24)

а это снова то же уравнение (6.22). В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все  и написать

                                         (6.25)

Символ  — это не амплитуда и не вектор; это вещь особого рода, именуемая оператором. Он — нечто, что «оперирует» над состоянием, чтобы создать новое состояние; уравнение (6.25) говорит, что  — это то, что получается, если  действует на . Это уравнение тоже нужно считать недоконченным, открытым, пока слева оно не умножится на какое-то «брэ», скажем на  и не обратится в

                                (6.26)

Оператор , разумеется, полностью описывается тем, что за дается матрица амплитуд ; ее также пишут в виде  — через любую совокупность базисных векторов.

Все эти математические обозначения на самом деле ничего нового не вносят. Единственный резон, почему мы их ввели, — мы хотели показать, как пишутся обрывки уравнений, потому что во многих книжках вы встретите уравнения, написанные в неполном виде, и нет причин вам пугаться, увидев их. Если вы захотите, вы всегда сможете дописать те части, которых не хватает, и получить уравнение, связывающее числа. Оно будет выглядеть более привычно.

Кроме того, как вы увидите, обозначения «брэ» и «кет» очень удобны. Прежде всего мы теперь сможем указывать состояния, задавая их вектор состояния. Когда мы захотим вести речь о состоянии с определенным импульсом , то скажем: «состояние ». Или будем говорить о некотором произвольном состоянии . Для единообразия мы всегда, говоря о состоянии, будем употреблять «кет» и писать . (Конечно, этот выбор совершенно произволен; в равной мере мы могли бы остановиться и на «брэ» .)