Глава 9. Еще системы с двумя состояниями

§ 1. Спиновые матрицы Паули

Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином  в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду  того, что -компонента спинового момента количества движения равна , и амплитуду  того, что она равна .В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали  и . Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем  менять их на   и .

Мы видели в последней главе, что когда частица со спином  и с магнитным моментом , находится в магнитном поле , то амплитуды  и  связаны следующими дифференциальными уравнениями:

                         (9.1)

Иначе говоря, матрица-гамильтониан  имеет вид

                          (9.2)

и, конечно, уравнения (9.1) совпадают с

,                                          (9.3)

где  и  принимают значения и  (или 1 и 2).

Эта система с двумя состояниями — спин электрона — настолько важна, что очень полезно было бы найти для ее описания способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильтониана пропорционален , и некоторой компоненте ; поэтому (чисто формально) можно написать

.                                        (9.4)

Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты и  — их всего  — могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).

Посмотрим, почему это так. Начнем с . Раз встречается только в  и , то все будет в порядке, если взять

Мы часто пишем матрицу  в виде таблички такого рода:

.

Для гамильтониана частицы со спином  в магнитном поле  — это все равно что

.

Точно так же и коэффициенты  можно записать в виде матрицы

.                                         (9.5)

Расписывая коэффициенты при , получаем, что элементы матрицы  должны иметь вид

Или сокращенно:

                             (9.6)

И наконец, глядя на , получаем

Или

                                                  (9.7)

Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов  и , мы отметили, какая  стоит при какой компоненте , поставив индексы  сверху. Обычно, однако,  и  отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы  и  ставят внизу. Тогда (9.4) записывается  так:

.                                             (9.8)

Матрицы сигма так важны (ими беспрерывно пользуются), что мы выписали их в табл. 9.1. (Тот, кто собирается работать в квантовой физике, обязан напомнить их.) Их еще называют спиновыми матрицами Паули — по имени физика, который их выдумал.

Таблица 9.1 Спиновые матрицы Паули

В таблицу мы включили еще одну матрицу 2x2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, оба спиновых состояния которой имеют одинаковую энергию, или когда хотим перейти к другой нулевой энергии. В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять , а ко второму . Это можно учесть, введя новое обозначение — единичную матрицу «1», или :

                                                                                  (9.9)

и переписав (9.8) в виде

.                                              (9.10)

Обычно просто понижают без лишних оговорок, что любая константа наподобие  автоматически умножается на единичную матрицу, и тогда пишут просто

                                          (9.11)

Одна из причин, отчего спиновые матрицы так полезны,— это что любая матрица 2x2 может быть выражена через них. Во всякой матрице стоят четыре числа, скажем

.

Ее всегда можно записать в виде линейной комбинации четырех матриц. Например,

.

Это можно делать по-всякому, но, в частности, можно сказать, что  состоит из какого-то количества  плюс какое-то количество  и т. д., и написать

,

где «количества»  и  в общем случае могут быть комплексными числами.

Раз любая матрица 2х 2 может быть выражена через единичную матрицу и матрицу сигма, то все, что может понадобиться для любой системы с двумя состояниями, у нас уже есть. Какой бы ни была система с двумя состояниями — молекула аммиака, краситель фуксин, что угодно,— гамильтоново уравнение может быть переписано в сигмах. Хотя в физическом случае электрона в магнитном иоле сигмы кажутся имеющими геометрический смысл, но их можно считать и просто полезными матрицами, пригодными к употреблению во всякой системе с двумя состояниями.

Например, один из способов рассмотрения протона и нейтрона — это представлять их как одну и ту же частицу в любом из двух состояний. Мы говорим, что нуклон (протон или нейтрон) есть система с двумя состояниями, в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние  может представлять протон, а  — нейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспина».

Поскольку мы будем применять матрицы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро познакомимся с соглашениями матричной алгебры. Под «суммой» двух или большего числа матриц подразумевается как раз то, что имелось в виду в уравнении (9.4).

Вообще если мы «складываем» две матрицы  и , то «сумма»  означает,  что каждый ее элемент  дается формулой

.

Каждый элемент  есть сумма элементов  и , стоящих на тех же самых местах.

В гл. 3, § 6, мы уже сталкивались с представлением о матричном «произведении». Та же идея полезна и при обращении с матрицами сигма. В общем случае «произведение» двух матриц  и  (в этом именно порядке) определяется как матрица  с элементами

                                                 (9.12)

Это — сумма произведении элементов, взятых попарно на -й строчки  и -го столбца . Если матрицы расписаны и виде таблиц, как на фиг. 9.1, то можно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения. Скажем, вы вычисляете . Вы двигаете левым указательным пальцем ро второй строчке , а правым — вниз по третьему столбцу , перемножаете каждую пару чисел и складываете пары по мере движения. Мы попытались изобразить это на рисунке.

Дли матриц 2x2 это выглядит особенно просто. Например, если  умножается на , то выходит

.

т. е. просто единичная матрица. Или. для примера, подсчитаем еще

.

Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица , умноженная на . (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с , и .

С матрицами  связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы ,  и  подобны трем компонентам вектора; его иногда именуют «вектором сигма» и обозначают . Это на самом деле «матричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью ,  или . С их помощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:

.                                                   (9.13)

Фигура 9.1. Перемножение двух матриц.

Таблица 9.2 Произведение спиновых матриц

Хотя мы записала эти три матрицы в представлении, в котором понятия «вверх» и «вниз») относятся к направлению  (так что о, выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что онп изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться  в различных системах координат, как если бы это был вектор.

Вы помните, что гамильтониан  связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состоянии только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если написать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом  в магнитном поле . Классически это выглядит так:

,                                                       (9.14)

где  — свойство объекта, а  — внешнее поле. Можно вообразить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое  — матрицей . Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соответствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица. Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле  есть . Это определяет вектор магнитного момента . Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поло и пытаемся угадать, какие матрицы соответствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических величин появляются их квантовые двойники.

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице : может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же не стоит: на самом-то деле они не равны. Квантовая механика — это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают некоторые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства — правила для запоминания.

Иначе говоря, вы запоминаете (9.14), когда учите классическую физику; затем если вы запомнили соответствие , то у вас есть повод вспомнить (9.13). Разумеется, природа знает квантовую механику, классическая же является всего лишь приближением, значит, нет ничего загадочного в том, что из-за классической механики выглядывают там и сям тени квантовомеханических законов, представляющих на самом деле их подоплеку. Восстановить реальный объект по тени прямым путем никак невозможно, но тень помогает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) — это истина, а уравнение (9.14) — ее топь. Мы сперва учим классическую механику и поэтому нам хочется выводить из нее квантовые формулы, но раз и навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз возвращаться обратно к реальному миру и открывать правильные квантовомеханические уравнения. И когда они оказываются похожими на что-то классическое, мы радуемся.

Если эти предостережения покажутся вам надоедливыми, если, по-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении классической физики к квантовой, то прошу прощения: сработал условный рефлекс преподавателя, который привык втолковывать квантовую механику студентам, никогда прежде не слыхавшим о спиновых матрицах Паули. Мне всегда казалось, что они не теряют надежды, что квантовая механика как-то сможет быть выведена как логическое следствие классической механики, той самой, которую они старательно учили в прежние годы. (Может быть, они просто хотят обойтись без изучения чего-то нового.) Но, к счастью, вы выучили классическую формулу (9.14) всего несколько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсем правильна, так что, может быть, вы не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины.