Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 2. Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии , изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при  оказалась бы в состоянии :

.

Матричный элемент  - это амплитуда того, что базисное состояние  превратится в базисное состояние  за время . Затем мы определяли  при помощи

и показывали, что амплитуды  связаны дифференциальными уравнениями

                                (9.15)

Если амплитуды  записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

.                              (9.16)

Далее, матричные элементы  — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде ; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

.                                              (9.17)

Мы видим, что  — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей , состояние  за время  «генерирует» состояние . (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6,  § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» , поскольку (9.17) справедливо при любом , и записать это уравнение просто в виде

.                                          (9.18)

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и  и написать

.                                                        (9.19)

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи  в  или в  называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки , чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать . Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности тожесамое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от сектора состояния  равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона  на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду  того, что  окажется в состоянии , и просуммированному по всем . Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на ) от состояния  равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом  на вектор состояния ». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния . Кроме того, левая сторона  — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по  и умножь на ». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение

.

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и . Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор  просто та же операция, что и . Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние  можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

.                                                                 (9.20)

Как же меняется  во времени? Продифференцируем его:

.                                               (9.21)

Но базисные состояния  во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды  — это числа, которые могут меняться. Иначе говоря,  (9.21) превращается в

.                                               (9.22)

Но ведь  нам известно — это (9.16); получается, следовательно,

.

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов  просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» , можно представлять себе «матрицу» , и можно считать его «оператором» . Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан череп матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как и т. д.), то естественно рассматривать и  как амплитуду , или, для краткости, как оператор . Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния  в магнитном поле можно написать в виде

.                              (9.23)

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать  через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

.                                  (9.24)

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы  подействуют на каждое базисное состояние. Напишем ; это какой-то вектор , но какой? Что ж, умножим его слева на  и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

.                                                         (9.25)

Теперь умножим  слепа на . Получится

т.е.

.                                                         (9.26)

Существует только одни вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25). и (9.26); это . Мы, стало быть, открыли, что

                                                      (9.27)

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3

Таблица 9.3 Свойства оператора

Если у нас есть произведение матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под  надо понимать . Из табл. 9.3 получаем , так  что

                                                   (9.28)

Числа (как, например, ) просто проходят сквозь операторы. Генераторы действуют только на векторы состояний); значит, (4.28) перейдет в

.

Если сделать то же самое с , то получится

.

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что  действуя на  или , даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором  и умножить на . Поэтому можно сказать, что операция  совпадает с операцией , и записать зто утверждение в виде операторного уравнения

.                                                     (9.29)

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнении в табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить, что они действительно следуют на табл. 9.3. Работая с этими вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа  или  операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>