§ 3. Решение уравнений для двух состояний

Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в различных видах, например:

,

или  вот так:

.                                  (9.30)

Оба они означали одно и то же. Для частицы со спином  в магнитном поле гамильтониан  дается уравнением (9.8) или (9.13).

Если поле направлено по , то, как мы уже много раз видели, решение заключается и том. чти состояние , каким бы оно ни было, процессирует «округ оси  (в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси ) с угловой скоростью, вдвое большей, чем . Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении , а магнитное поле — в направлении . Спин начал поворачиваться. Если выключить -поле, поворот прекратится. Если теперь включить -поле, спин начнет поворачиваться вокруг  и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным  и  по отношению к , пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по , то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна , а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна . Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных  уравнений.

Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний  и , то уравнения  выглядят так:

                                            (9.31)

Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще ». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергии, чтобы  стало равно пулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в ; так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние  обозначим , состояние  обозначим . Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что  и  как-то связаны с осью . Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии , а направление «вниз» по фальшивой оси  означает пребывание молекулы в состоянии . Тогда уравнения отождествляются следующим образом.

Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:

.                                          (9.32)

Если сравнить это с (9.1), то  будет соответствовать , a  будет соответствовать . В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле , направленное по оси . Если есть, кроме этого, электрическое поле , меняющееся со временем, то у поля  появится и пропорционально меняющаяся -компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении  и колеблющейся составляющей в направлении  математически вo всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле. К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином  процессирующему в магнитном поле.