§ 3. Решение уравнений для двух состояний
Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в различных видах, например:
,
или вот так:
. (9.30)
Оба они означали одно и то же. Для частицы со спином
в магнитном поле гамильтониан
дается уравнением (9.8) или (9.13).
Если поле направлено по
, то, как мы уже много раз видели, решение заключается и том. чти состояние
, каким бы оно ни было, процессирует «округ оси
(в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси
) с угловой скоростью, вдвое большей, чем
. Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении
, а магнитное поле — в направлении
. Спин начал поворачиваться. Если выключить
-поле, поворот прекратится. Если теперь включить
-поле, спин начнет поворачиваться вокруг
и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным
и
по отношению к
, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по
, то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна
, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна
. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных уравнений.
Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний
и
, то уравнения выглядят так:
(9.31)
Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще
». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергии, чтобы
стало равно пулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в
; так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние
обозначим
, состояние
обозначим
. Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что
и
как-то связаны с осью
. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии
, а направление «вниз» по фальшивой оси
означает пребывание молекулы в состоянии
. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.
Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:
. (9.32)
Если сравнить это с (9.1), то
будет соответствовать
, a
будет соответствовать
. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле
, направленное по оси
. Если есть, кроме этого, электрическое поле
, меняющееся со временем, то у поля
появится и пропорционально меняющаяся
-компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении
и колеблющейся составляющей в направлении
математически вo всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле. К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином
процессирующему в магнитном поле.