§ 2. Состояния определенной энергии

Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде

.                       (11.5)

Комплексное число  говорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле -го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим

.             (11.6)

Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных ! Ситуация тяжелая!

Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что -й атом находится в , a -й - в . Если расстояние между атомами равно  (как на фиг. 11.1), то . Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить . Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде

,                 (11.7)

а уравнение (11.6) превратится в

.              (11.8)

Пользуясь тем, что , это выражение можно также записать в виде

.                    (11.9)

Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина  в точке  связана с той же физической величиной в соседних точках . (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем.

Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем

.             (11.10)

Тогда (11.9) обратится в

.                  (11.11)

Сократим на общий множитель ; получим

.                    (11.12)

Два последних члена равняются , так что

.               (11.13)

Мы обнаружили, что при любом выборе постоянной  имеется решение, энергия которого дается этим уравнением. В зависимости от  получаются различные возможные энергии, и каждая  соответствует отдельному решению. Решений бесконечно много, но это и не удивительно, ведь мы исходим из бесконечного числа базисных состояний.

Посмотрим, каков смысл этих решений. Для каждой  уравнение (11.10) дает свои . Тогда амплитуды обращаются в

,                  (11.14)

причем нужно помнить, что энергия  также зависит от  в согласии с уравнением (11.13). Множитель  дает пространственную зависимость амплитуд. Амплитуды при переходе от атома к атому колеблются.

При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комплексны, модуль ее вблизи любого атома один и тот же, а фаза (в данный момент) от атома к атому сдвигается на . Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную черточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2). Огибающая этих вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть  - это тоже колеблющаяся функция, но она сдвинута по фазе на 90°, так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех  один и тот же.

Фиг. 11.2. Изменение вещественной часта  с .

Итак, выбирая , мы получаем стационарное состояние с определенной энергией . И в каждом таком состоянии электрону одинаково вероятно оказаться около любого из атомов, никаких преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому меняется только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11.14) следует, что вещественная и мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения

.               (11.15)

Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрицательным , смотря по тому, какой знак выбран для .

Заметьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число  есть число вещественное. Теперь видно, почему в бесконечной цепочке атомов так и должно быть. Пусть  было бы мнимым числом . Тогда амплитуды  менялись бы, как , что означало бы, что амплитуда растет все выше и выше, когда  возрастает, или при  отрицательном, когда  становится большим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов это не может быть физическим решением. Оно привело бы к бесконечным амплитудам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых  есть смысл.

Соотношение (11.13) между энергией  и волновым числом  изображено на фиг. 11.3. Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от  при  до  при . График начерчен для положительных , при отрицательных  кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней. Существенно то, что в некоторой области, или «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших предположений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сможет оказаться вне этой полосы.

Фиг. 11.3. Энергия стационарных состояний как функция параметра .

Согласно (11.10), меньшие  отвечают более низким энергетическим состояниям . Когда  по величине растет (все равно, в положительную или отрицательную сторону), то энергия сперва растет, а потом при  достигает максимума, как показано на фиг. 11.3. Для , больших, чем , энергия опять начала бы убывать. Но такие  рассматривать не стоит, они не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших . Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наинизшей энергии, для которого . Тогда при всех  коэффициент  будет один и тот же [см. (11.10)]. Та же самая энергия получилась бы и при . Тогда из (11.10) следовало бы

.

Но, считая, что начало координат приходится на , можно положить , и тогда  превратится в

,

т. е. состояние, описываемое этими , физически ничем не будет отличаться от состояний при . Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем . Вещественная часть  изображена на фиг. 11.4 кривой 1. Если бы  было в семь раз больше , то вещественная часть  менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках . Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения  во всех  дают одинаковые амплитуды.

Фиг. 11.4. Пара значений , представляющих одну и ту же физическую ситуацию.

Кривая 1 - для , кривая 2 - для .

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять  только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от  до  (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационарных состояний с ростом абсолютной величины  возрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только перепрыгивать к ближайшим соседям с амплитудой , но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой . Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме , этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом  имеют энергию . Это означает, что форма кривой  как функции  не универсальна, а зависит от тех частных допущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относительно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала  повторяется, так что заботиться о других значениях  не нужно.

Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых , когда вариации амплитуд между одним  и соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было ; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых  можно написать

,

и энергия (11.13) превратится в

.                (11.16)

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации амплитуд .