§ 3. Состояния с определенным импульсом

Пусть у нас имеется электрон в состоянии , описываемом амплитудой вероятности . Мы знаем, что  обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале  близ точки  попросту равна

.

Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен ? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние  присутствует в другом состоянии , которое мы определим как состояние с определенным импульсом . Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний

.                 (14.21)

А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс , выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области  близ значения . Вероятность того, что импульс в точности равен , равна нулю (разве что состояние  окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале  возле значения  может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.

Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством

.               (14.22)

Это определение дает нам нормировку амплитуды . Амплитуда , естественно, комплексно сопряжена с амплитудой , а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е.

.             (14.23)

Тогда (14.21) превращается в

.                (14.24)

Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния .

Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг . Пусть мы взяли волновую функцию вида

.                 (14.25)

Распределение вероятности иметь то или иное значение  для такой волновой функции дается ее квадратом

.                    (14.26)

Функция плотности вероятности  - это кривая Гаусса, показанная на фиг. 14.1. Большая часть вероятности сосредоточена между  и . Мы говорим, что «полуширина» кривой есть . (Точнее,  равняется средней квадратичной координате , если разброс координат соответствует этому распределению.) Коэффициент  следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности  не просто была пропорциональна вероятности (на единицу длины ) обнаружить электрон, но имела бы такой масштаб, чтобы  равнялось вероятности обнаружить электрон в  вблизи . Коэффициент , при котором так и получается, можно найти из требования , потому что вероятность обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что .

Фиг. 14.1. Плотность вероятности для волновой функции (14.24).

Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть  есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным :

.             (14.27)

Подстановка (14.25) в (14.24) дает

,                    (14.28)

что можно также переписать в форме

.              (14.29)

Сделаем теперь замену ; интеграл обратится в

.                     (14.30)

Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, однако итог, несмотря на это, верен:

.             (14.31)

Мы пришли к интересному результату - распределение амплитуд по  имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по , только ширина кривой Гаусса иная. Можно записать это так:

,              (14.32)

где полуширина  распределения по  связана с полушириной  распределения по  формулой

.                     (14.33)

Наш результат утверждает: если сделать распределение по  очень узким, взяв  малым, то  станет большим и распределение по  сильно расползется. Или наоборот, если распределение по  узко, то оно соответствует широкому распределению по . Мы можем, если угодно, рассматривать  и  как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно  и , то (14.33) обратится в

.                 (14.34)

Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по  или по  произведение  не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае

.                 (14.35)

Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения  - это число порядка .