§ 2. Волновая функция

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.

Начнем с того, что вектором состояния  обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой . Для каждого значения  вдоль прямой - для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д. - имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния  в качестве базисных. Если это сделать для всех точек  прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем , в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние - задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний . Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого . Запишем их в виде . Каждая из этих амплитуд - комплексное число, и поскольку для каждого значения  существует одно такое число, амплитуда  является в действительности просто функцией . Запишем ее также в виде :

.                      (14.14)

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс  и соответствующую ему определенную энергию , то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте , такова:

.                    (14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний - со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным . И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний .

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции , определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния . Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции  идет речь, поставив снизу индекс, скажем . Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву  и пользуются символом  для определения функции

.                    (14.16)

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что  теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14)  обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ  применяется для определения математической функции от , равной амплитуде, связываемой с каждой точкой  прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию  обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили  как амплитуду того, что электрон в состоянии  обнаружится в точке , то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины  как вероятность обнаружить электрон в точке . Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть  обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале  возле точки . Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой  будет пропорциональна . И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено.

Можно считать, что амплитуда  представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний  в узком интервале . Поскольку вероятность обнаружить электрон в узком интервале  вблизи  должна быть пропорциональна длине интервала , мы выберем такое определение , чтобы соблюдалось следующее условие:

.

Амплитуда  поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии  будет обнаружен в базисном состоянии , а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды  дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:

.                  (14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии , а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии , которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

.               (14.18)

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала  будет эквивалентна умножению на , а сумма по всем значениям  превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:

.                       (14.19)

Амплитуда  - это то, что мы теперь называем ; точно так же амплитуду  мы обозначим . Вспоминая, что  комплексно сопряжена с , мы можем (14.18) переписать в виде

.                 (14.20)

При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по .

К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния , потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему - взять две совокупности состояний по : одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.