Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 5. Волновые функции водорода

Посмотрим же, что мы открыли. Состояния, которые удовлетворяют уравнению Шредингера для электрона в кулоновом поле, характеризуются тремя (причем целыми) квантовыми числами , , . Угловое распределение амплитуды электрона может обладать только определенными формами, которые мы обозначим . Они нумеруются числом - квантовым числом полного момента количества движения и  - «магнитным» квантовым числом, которое может меняться от  до . При каждой угловой конфигурации возможны различные радиальные распределения  амплитуды электрона; они нумеруются главным квантовым числом , которое может меняться от  до . Энергия состояния зависит только от  и растет с .

Состояние наинизшей энергии, или основное, является -состоянием. У него ,  и . Это «невырожденное» состояние: имеется только одно состояние с такой энергией, а волновая функция у него сферически симметрична. Амплитуда того, что электрон обнаружится, достигает максимума в центре и монотонно спадает с удалением от центра. Эту электронную амплитуду можно изобразить этаким комочком (фиг. 17.6,а).

190.gif

Фиг. 17.6. Наброски, отражающие общий характер волновых функций водорода.

В заштрихованных местах амплитуды велики. Знаки плюс и минус - это относительные знаки амплитуд в каждой области.

Имеются и другие -состояния, с большими энергиями; у них  и . Каждой энергии соответствует только одно состояние , и все они сферически симметричны. Амплитуды этих состояний с ростом  один или несколько раз меняют знак. Имеется  сферических узловых поверхностей, или мест, где  проходит через нуль. Например, -состояние  выглядит так, как показано на фиг. 17.6,б. (Темные области указывают те места, где амплитуда велика, а знаки плюс и минус отмечают относительные фазы амплитуды.) Уровни энергии -состояний показаны в первом столбце фиг. 17.7.

191.gif

Фиг. 17.7. Диаграмма уровней энергии водорода.

Затем бывают -состояния с . Для каждого  ( равно или больше 2) существует тройка состояний с одинаковой энергией, одно с , другое с , третье с Уровни энергии отмечены на фиг. 17.7. Угловые зависимости этих состояний приведены в табл. 17.1. Так, при если амплитуда положительна для углов , близких к нулю, то при углах , близких к 180°, она окажется отрицательной. Имеется узловая плоскость, совпадающая с плоскостью . При  бывают также конические узловые поверхности. Амплитуда ,  намечена на фиг. 17.6,в, а волновая функция ,  - на фиг. 17.6,г.

Могло бы показаться, что поскольку  дает, так сказать, «ориентацию» в пространстве, то должны наблюдаться еще такие же распределения, но с пиками вдоль оси  или вдоль оси . Можно подумать, что это скорее всего состояния с  и с . Однако это не так! Но зато раз у нас есть тройка состояний с одинаковыми энергиями, то любая линейная комбинация из этой тройки тоже будет стационарным состоянием с той же энергией. Оказывается, что «»-состояние (по аналогии с «»-состоянием, или состоянием с , см. фиг. 17.6,в) это линейная комбинация состояний с  и с . Другая комбинация дает «»-состояние. Точнее, имеется в виду, что состояния

если отнести их к своим осям, выглядят одинаково.

У -состояний  для каждой энергии есть пять возможных значений ; наинизшей энергией обладает . Уровни показаны на фиг. 17.7. Угловые зависимости усложняются. К примеру, состояния с  обладают двумя коническими узловыми поверхностями, так что при переходе от северного полюса к южному волновая функция меняет фазы с  на  и обратно на . Примерная форма амплитуды нарисована на фиг. 17.6,д и е для состояний с  и  и 4. И снова при больших  появляются конические узловые поверхности.

Мы не будем пытаться описывать другие последующие состояния. Подробное изложение волновых функций водорода вы найдете во многих книгах. Рекомендую вам особенно; L. Раuling, Е.В. Wi1sоn, Introduction to Quantum Mechanics, New York, 1935; R. B. Leightоn, Principles of Modern Physics, New York, 1959. В этих книгах вы найдете графики некоторых функций и графическое изображение многих состояний.

Хотелось бы упомянуть об одном особом свойстве волновых функций при высших : при  амплитуды обращаются в центре в нуль. Ничего в этом удивительного нет, ведь электрону трудно иметь большой момент, когда плечо момента очень мало. По этой причине чем  больше, тем дальше амплитуды «отталкиваются» от центра. Если вы посмотрите, как радиальные функции  меняются при малых , то из (17.53) окажется, что

.

Такая зависимость от  означает, что при больших  вам придется дальше отойти от , чтобы получить заметную амплитуду. Такое поведение, кстати, определяется членом с центробежной силой в радиальном уравнении, так что все это применимо к любому потенциалу, который при малых  меняется медленнее, чем , а таково большинство атомных потенциалов.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>