§ 7. Изменение средних со временем
Теперь
мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние
изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор
, в который время
явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как
или
. [А исключаются, скажем,
такие вещи, как оператор внешнего потенциала
, меняющийся во времени.] Теперь
представим, что мы вычислили
в некотором состоянии
, т. е.
. (18.76)
Как
будет
зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну,
во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например,
если он был связан с переменным потенциалом типа
. Но даже если оператор от
не зависит,
например оператор
, то соответствующее среднее может
зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как
может такое движение получиться из (18.76), если
от времени не зависит? Дело в том,
что во времени может меняться само состояние
. Для нестационарных состояний мы
часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как
. Теперь мы хотим
показать, что скорость изменения
дается новым оператором, который мы
обозначим
.
Напомним, что
это
оператор, так что точка над
вовсе не означает дифференцирования
по времени, а является просто способом записи нового оператора
, определяемого
равенством
. (18.77)
Задачей
нашей будет найти оператор
.
Прежде
всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В
частности,
. (18.78)
Это
всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения
гамильтониана
. (18.79)
Если
мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно
. (18.80)
Посмотрим
теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по
. Поскольку каждое
зависит от
, мы имеем
. (18.81)
Наконец,
заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем
,
а
это то же самое, что написать
.
Сравнивая
это уравнение с (18.77), мы видим, что
. (18.82)
Это
и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для
любого оператора
.
Кстати
заметим, что, если бы оператор
сам зависел от времени, мы бы
получили
. (18.83)
Проверим
(18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл.
Какой, например, оператор соответствует
? Мы утверждаем, что это должно быть
. (18.84)
Что
это такое? Один способ установить, что это такое – перейти в координатное
представление и воспользоваться алгебраическим оператором
. В этом представлении
коммутатор равен
.
Если
вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию
и вычислите везде, где
нужно, производные, вы в конце концов получите
.
Но
это то же самое, что и
,
так
что мы обнаруживаем, что
, (18.85)
или
что
. (18.86)
Прелестный
результат. Он означает, что если среднее значение
меняется со временем, то перемещение
центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу
. Точно как в классической
механике.
Другой
пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры
прежние. Оператор этой скорости равен
. (18.87)
Опять
все можно подсчитать в
-представлении. Напомним, что
обращается в
, а это означает,
что вам придется дифференцировать потенциальную энергию
(в
), но только во втором
слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете
или
. (18.88)
Опять
классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но
помните – это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не
описывают в деталях, что происходит внутри атома.
Существенное
отличие квантовой механики в том, что
не равно
. Они отличаются на самую
малость – на маленькое число
. Но все поразительные сложности
интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что
не совсем нуль.
История
этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и
Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику.
Шредингер изобрел свою волновую функцию
и нашел уравнение для нее, а
Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими
уравнениями, лишь бы
было равно
, чего можно было добиться,
определив их с помощью особого вида матриц. На пашем теперешнем языке он
пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое – и
матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера –
объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать,
что обе теории эквивалентны – мы только что это видели. Но две разные
математические формы квантовой механики были открыты независимо.