Глава 19. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КЛАССИЧЕСКОМ КОНТЕКСТЕ. СЕМИНАР ПО СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится.

Но это не все. Главное – что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вынести ее на семинар. Тема эта – классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости.

Обычно та волновая функция, которая появляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы - это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действительно имеет классическое значение, именно их я и хочу коснуться. Своеобразие квантовомеханического поведения вещества в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в крупномасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой обстоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.

При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состоянии в игру включается только очень-очень малое количество состояний - тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопическом уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эффектами – не обычное обсуждение пути, по которому квантовая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механикой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.

Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравнения Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явления сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост. Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от векторного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:

.                           (19.1)

Это исходное утверждение квантовой механики.

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из  в  по пути  пропорциональна .

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шредингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

,                       (19.2)

где  – электрический потенциал, так что  – потенциальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утверждению, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно каждый раз заменять на градиент минус , так что (19.2) превращается в

.                  (19.3)

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом  (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле .

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстрировать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси  на расстоянии  друг от друга, и существует амплитуда  того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потенциал  в -направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на  - экспоненту с показателем, равным произведению  на векторный потенциал, проинтегрированный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать , поскольку , вообще говоря, зависит от . Если обозначить через  амплитуду того, что электрон обнаружится возле атома , расположенного в точке , то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

.                  (19.4)

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке , есть некоторая энергия . Это, как обычно, дает член . Затем имеется член , т. е. амплитуда того, что электрон от атома , расположенного в , отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если  на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения  посредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение  на интеграл равно . А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от , на расстоянии , и умножается на расстояние . Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке .

Но дальше мы знаем, что если функция  достаточно плавная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням , считая  очень малым. К примеру, если , то правая часть будет равна просто , так что в нулевом приближении энергия равняется . Затем пойдут степени , но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора ,  и экспоненты и соберете затем члены с , вы получите

            (19.5)

(штрихи обозначают дифференцирование по ).

Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с

.                    (19.6)

Вторая скобка, действуя на , даст  минус . Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с , члены с первыми производными  и с первой производной . А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. И, § 3) изображают частицу с эффективной массой , даваемой формулой

.

Если вы затем положите  и снова вернетесь к , то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса  заменяется на , как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).