9.2. Уравнение плоскости в общем виде.

Если уравнение (1') умножить на какое-либо не равное нулю число, то получим эквивалентное ему уравнение в виде

,                                                             (2)

определяющее ту же плоскость. Здесь числа , ,  не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа , ,  не все равны нулю, называется уравнением плоскости в общем виде.

Произвольное уравнение вида (2), где числа , ,  одновременно не равны нулю, можно привести к нормальному виду, умножив его на число

,

где знак берется противоположным знаку числа . Тогда число  будет неотрицательным, а уравнение (2) преобразуется в следующее, ему эквивалентное,

.                                (3)

Здесь

.

Это показывает, что вектор

единичный (). Его проекции на оси координат равны

,     ,   ,

где , ,  - углы, образованные вектором  соответственно с положительными направлениями осей , , . В силу введенных обозначений уравнение (3) имеет вид

,              (3’)

т. е. мы получили уравнение плоскости (2) в нормальном виде.

Если задано уравнение плоскости в общем виде (2) и надо узнать ее расположение относительно системы координат, то достаточно уравнение (2) привести к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель .

Из самого же уравнения (2) без каких-либо вычислений можно заключить только следующие два факта: 1) если , то плоскость проходит через начало координат, а если , то она не проходит через начало координат; 2) вектор  перпендикулярен плоскости, ведь он коллинеарен единичному вектору , перпендикулярному к данной плоскости.

Уравнение

                                                         (4)

есть частный случай уравнения (2). В плоскости  уравнение (4) определяет прямую, а в пространстве  оно есть уравнение плоскости , перпендикулярной к координатной плоскости  и проходящей через эту прямую. Какова бы ни была точка , принадлежащая к плоскости , ее координаты ,  удовлетворяют уравнению (4) независимо от того, какую она имеет третью координату . Уравнение

                                              (5)

есть частный случай уравнения (4). Его можно записать в виде

.                                         (5')

Уравнение (5') в пространстве есть геометрическое место точек , имеющих первую координату, равную числу . Координаты же , могут быть любыми. Ясно, что (5') определяет плоскость, параллельную координатной плоскости  (или перпендикулярную оси ).