Эллипс

.                                                               (2)

При  эллипс (2) обращается в окружность радиуса  с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии .

Пусть . Положим . Отметим на оси  точки , , имеющие абсциссы  и . Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов ,  есть величина постоянная, равная .

В самом деле (рис. 37),

откуда

и

откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка  удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до  и  равна .

Если в уравнении (2) заменить  на , то оно не изменится – это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси . Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси , потому что его уравнение не изменяется при замене  на . Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для . Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением

.

Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки  и . При этом его ордината  при непрерывном возрастании  на отрезке  непрерывно убывает.

Эллипс - ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса  с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса  имеет место неравенство

.

Из рис.37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх кривая. В любой ее точке можно провести касательную. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.

Рис. 37

Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме

                                              (3)

В самом деле

т. e. точка , определяемая равенствами (3) при любом  принадлежит эллипсу (2). Если  непрерывно пробегает полуинтервал , то точка  описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании  движение периодически повторяется.

Выясним смысл  параметра  и попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две концентрических окружности радиусов  и   с центром в точке .

Рис.38

Затем проведем радиус-вектор под углом  к оси  и обозначим его точки пересечения с окружностями радиуса  и  соответственно  и . Из точки  проведем прямую, параллельную оси , а из точки  - прямую, параллельную оси . Точка пересечения этих прямых  принадлежит эллипсу. В самом деле, пусть  - абсцисса точки , а  - ордината этой точки. Тогда (см. рис. 38)

т.е. точка действительно находится на эллипсе (3) и параметр  есть угол между осью  и лучом . Отметим, что  не является полярным  углом , который образует  радиус-вектор  с осью  (). Например, если , , , то ; если , то ; если ,то .