§ 8.18. Отображения
Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций
, (1)
где
- открытое множество точек
. Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно дифференцируемое отображение
, (1’)
множества
на некоторое множество
точек
. Будем еще писать
и называть
образом
, а
- прообразом
(посредством отображения
).
Наряду с
рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение
:
,
открытого множества
точек
на некоторое множество точек
. Таким образом,
.
З а м е ч а н и е. Отметим, что если
и
, то в силу непрерывности
найдется окрестность
точки
, образ которой посредством
принадлежит к
. Уменьшая
, положив
, получим тогда, что
.
Если
, то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение
.
Якобианы отображений
связаны замечательными равенствами

, (2)
доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей.
В частности, если
обращает
на множестве точек
, т. е.
, есть тождественное отображение, то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу
. (3)
Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) непрерывно дифференцируемое отображение
имеет якобиан
,
т. е. не равный нулю всюду на открытом множестве
.
Приведем без доказательства следующие свойства:
1)
- открытое множество (вместе с
!),
2) если
- область, то и
- область,
3) отображение
локально взаимно однозначно, т. е. какова бы ни была точка
, найдется шар
с центром в ней такой, что отображение
, рассматриваемое только на
, взаимно однозначно.
Свойство
утверждает только локальную взаимную однозначность. Глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например, преобразование
полярных координат точек плоскости в декартовы при
и произвольном
непрерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный
. Оно отображает точки
плоскости
и точки
, отличные от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой точке
соответствует хотя и одно
, но бесконечное число различных значений
, отличающихся между собой на
.