§ 5.3. Задача Дирихле для круга

Теорема 1. Пусть  есть открытый единичный круг с центром в начале прямоугольной системы координат  и на его границе  задана непрерывная (периода ) функция , где  - полярный угол точки . Тогда на замыкании  круга  существует и притом единственная функция , непрерывная на , гармоническая на  и равная  на :

.                                                       (1)

В полярных координатах  функция  записывается в виде ряда

,                 (2)

где

- коэффициенты Фурье функции .

Мы докажем теорему 1 в предположении, что функция  имеет вторую непрерывную производную, хотя теорема верна и если  просто непрерывна.

Разложим функцию  в ряд Фурье

.

Так как  имеет вторую непрерывную производную, то

,                                 (3)

где константа  (см. § 4.7). Имеем

,

и так как ряд

сходится, то по теореме Вейерштрасса ряд (2) равномерно сходится на . Но тогда  есть непрерывная на  функция, как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Кроме того,

,

т. е. выполняется свойство (1).

Каждый член ряда (2) удовлетворяет уравнению Лапласа в полярных координатах

(см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.9, пример 3). Кроме того, имеют место равенства

                           (4)

Почленное дифференцирование ряда (2) законно, потому что для любого положительного  члены, например, третьего ряда (4) не превышают соответственно

,

а ряд

сходится.

Поэтому сумма ряда (2)  является решением поставленной задачи (является гармонической функцией).

Тот факт, что решение задачи Дирихле является единственным, мы доказывать не будем.