Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного

Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник). Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — 512 с. Учебник (1-е изд. — 1980 г.) вместе с другими учебниками тех же авторов — «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и «Дифференциальное и интегральное исчисление» (том 2) — соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Книга содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению
1.2. Общие понятия
1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
1.2.3. Задача Коши
1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка
1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка
1.2.6. Поле направлений
1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы
1.3.2. Уравнения с разделенными переменными
1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными
1.3.4. Однородные уравнения
1.3.5. Линейное уравнение
1.3.6. Уравнение Бернулли
1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
1.5. Метрическое пространство
1.5.1. Понятие метрического пространства
1.5.2. Полное метрическое пространство
1.5.3. Принцип сжатых отображений
1.5.4. Приближенное значение корня функции
1.5.5. Метод Ньютона
1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка
1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка
1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной
1.9. Особые решения
1.10. Огибающая семейства кривых
1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка
1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка
1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения
1.15. Линейные уравнения высшего порядка
1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка
1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения
1.15.3. Определитель Вронского
1.15.4. Структура общего решения
1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
1.16.1. Методы решения
1.16.2. Уравнение Эйлера
1.17. Метод вариации постоянных
1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения
1.18.1. Методы нахождения частных решений
1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины
1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство
1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений
1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению
1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
1.25. Элементы теории устойчивости
1.26. Классификация точек покоя
Глава 2. Кратные интегралы
2.1. Введение
2.2. Сведения из теории меры Жордана
2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования
2.4. Сведение кратного интеграла к повторным
2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции
2.6. Замена переменных. Простейший случай
2.7. Замена переменных. Общий случай
2.8. Полярная система координат в плоскости
2.9. Полярная система координат в пространстве
2.10. Цилиндрические координаты
2.11. Площадь поверхности
2.12. Координаты центра масс
2.13. Несобственные интегралы
2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии
2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Глава 3. Векторный анализ
3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая
3.2. Криволинейный интеграл первого рода
3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.1. Поле вектора
3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой
3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода
3.4. Поле потенциала
3.4.1. Понятие потенциала и его свойства
3.4.2. Доказательство свойств потенциала
3.4.3. Ротор вектора
3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
3.6. Ориентация плоской области
3.7. Формула Грина
3.8. Интеграл по поверхности первого рода
3.9. Ориентация поверхности
3.10. Система координат и ориентация поверхности
3.11. Интеграл по ориентированной плоской области
3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность
3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского
3.14. Соленоидальное поле
3.15. Формула Стокса
Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
4.1. Тригонометрические ряды
4.2. Сходимость тригонометрических рядов
4.3. Ряд Фурье
4.4. Признаки сходимости рядов Фурье
4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций
4.6. Коэффициенты Фурье
4.7. Оценка коэффициентов Фурье
4.8. Пространство функций со скалярным произведением
4.9. Ортогональная система функций
4.10. Полнота тригонометрических функций
4.11. Комплексная форма ряда Фурье
4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье
4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье
4.14. Примеры
4.15. Приближение интеграла Фурье
4.16. Сумма Фейера
4.17. Полнота систем функций в С и L2’
4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье
Глава 5. Уравнения математической физики
5.1. Температура тела
5.2. Задача Дирихле
5.3. Задача Дирихле для круга
5.4. Задача Дирихле для полуплоскости
5.5. Уравнение теплопроводности в стержне
5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня
5.7. Малые колебания струны
5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера
5.9. Колебание круглой мембраны
5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля
5.11. Интеграл энергии (Дирихле)
5.12. Применение преобразований Фурье
Глава 6. Теория функций комплексного переменного
6.1. Понятие функции комплексного переменного
6.2. Производная функция комплексного переменного
6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)
6.4. Гармонические функции
6.5. Обратная функция
6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
6.7. Формула Коши
6.8. Интеграл типа Коши
6.9. Степенной ряд
6.10. Ряд Лорана
6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты
6.12. Классификация особых точек на бесконечности
6.13. Теорема о вычетах
6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов
6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция
Глава 7. Операционное исчисление
7.1. Изображение Лапласа
7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений
7.3. Приложения операционного исчисления
7.3.1. Операторное уравнение
7.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений
7.3.3. Вычисление интегралов
Глава 8. Обобщенные функции
8.1. Понятие обобщенной функции
8.2. Операции над обобщенными функциями
8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций