§ 6.4. Гармонические функции

Пусть на области  плоскости  задана аналитическая функция . Тогда, как это уже было отмечено в § 6.2, функция  имеет на  непрерывные производные любого порядка. Но тогда функции  и  имеют на  непрерывные частные производные любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям Коши - Римана

, ,                        (1)

из которых следует

, .

Складывая эти равенства, получаем

.                     (2)

Левую часть уравнения (2) обозначают символом

.

Уравнение

                        (3)

называют уравнением Лапласа. Символ  называют оператором Лапласа.

Функцию , имеющую непрерывные частные производные второго порядка на  и удовлетворяющую уравнению Лапласа (3), называют гармонической на .

Итак, мы установили, что действительная часть аналитической на  функции является гармонической функцией на .

Если первое равенство в (1) продифференцировать по , а второе - по  и вычесть второе равенство из первого, то будем иметь

,

т. е. и мнимая часть аналитической функции является гармонической функцией.

Однако функция , где  и  - произвольные гармонические на  функции, не всегда является аналитической на . Она будет аналитической, только если функции  и  удовлетворяют на  условиям Коши - Римана.

Покажем, что если  есть односвязная область, то для всякой гармонической на  функции  существует единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к  на  функция  такая, что

аналитическая на .

Пусть задана на  гармоническая функция . Положим

, .

Так как  имеет на  непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющие уравнению Лапласа, то

.

Из полученного равенства

 на

и односвязности  следует (см. § 3.4), что криволинейный интеграл

        (4)

вдоль любого кусочно-гладкого пути , соединяющего точки  и , зависит от этих точек, но не зависит от формы пути. При этом  есть функция, потенциальная для вектора  на , т. е.

, .

Это показывает, что  имеет непрерывные частные производные на , удовлетворяющие вместе с  условиям Коши - Римана. Но тогда  и  - сопряженные друг к другу функции.

Если  - другая функция, сопряженная к  на , то

, .                                 (6)

Из (5) и (6) следует:

,  на .

Но тогда  на , где  - постоянная. Утверждение доказано.

Пример 1. Функция  удовлетворяет, очевидно, уравнению . Найти аналитическую функцию , у которой .

Мнимую часть этой функции ищем по формуле (4) (рис. 134):

.

Рис. 134

Тогда функция  аналитическая во всей комплексной плоскости.

Пример 2. Функция  аналитическая на плоскости . Следовательно, функции ,  гармонические и удовлетворяют условиям Коши - Римана на плоскости . Это можно проверить непосредственно.

Пример 3. Функции ,  гармонические, но условия Коши - Римана для них не выполнены, поэтому функция  не является аналитической. Убедимся в этом непосредственно: , , .

Выбираем два пути подхода точки  к точке , а именно, a) , ; б) , . Тогда:

в случае а) , т. е. ;

в случае б) , т. е. .

Таким образом, предела  при  не существует и функция  не имеет производной в любой точке плоскости.

Замечание. В полярных координатах ,  гармоническая функция  перейдет в некоторую новую функцию относительно координат  и

.

Легко видеть, что

,

,

,

.

Отсюда

.

В связи с этим равенством пишут

и правую часть этого символического равенства называют оператором Лапласа в полярных координатах. Мы доказали, что

  .