§ 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)

Рассмотрим комплексную функцию

  ,

определенную на области  комплексной плоскости. Пусть она имеет производную в точке

,

.

Таким образом, при любом способе стремления  к нулю должен существовать предел (1), равный одному и тому же комплексному числу . В частности, это должно иметь место, если a)  и  или, если б)  и .

В первом случае (см. § 6.1, (3))

.

Во втором случае

.                          (2)

Но тогда должны выполняться равенства

, ,

которые обычно называют условиями Коши-Римана. Некоторое время думали, что именно Коши и Риман впервые получили эти условия. Теперь выяснилось, что они были известны еще Эйлеру и Даламберу.

Итак, нами доказана

Теорема 1. Если функция

имеет производную в точке , то ее действительные компоненты  и  имеют в точке  частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши-Римана.

Теорему 1 можно обратить, правда при добавочном предположении, что частные производные от  и  непрерывны.

Теорема 2. Если функции  и  имеют в точке  непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, то функция комплексной переменной  имеет в точке  производную.

Доказательство. Пусть функции  и  имеют непрерывные частные производные в точке . Тогда они дифференцируемы в этой точке, т. е. их приращения, соответствующие приращениям , , могут быть записаны в виде

,

,

где ,  и   - бесконечно малые функции высшего порядка малости чем , т. е.  . Поэтому, учитывая, что  , имеем (в силу (2))

,

потому что . Символ  означает бесконечно малую функцию при . Таким образом,

т. е. функция  имеет в точке  производную, равную

.                  (3)

Используя условия (2), можно получить и другие формы для выражения производной . Теорема доказана.

Если учесть, что существование производной  на области  автоматически влечет за собой ее непрерывность на , то из теорем 1 и 2 вытекает следующая

Теорема 3. Для того чтобы функция

была аналитической на области  плоскости , необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого порядка функций  и  были непрерывны на  и выполнялись условия Коши - Римана

, ,  .

Функции  и  называют сопряженными друг к другу на .

Пример 1. Функции , ,  не являются аналитическими на плоскости . Ведь каждая из них может быть записана в виде , где  и  - действительные функции, очевидно, не удовлетворяющие условиям Коши - Римана.

Пример 2. Проверить выполнение условий Коши - Римана для действительной и мнимой частей функции .

В примере 1 § 6.2 мы показали, что

, .

Отсюда

, ,

, .

Таким образом,

,  ,

т. е. условия Коши - Римана выполнены.

Так как частные производные первого порядка от функций  и  непрерывны для любых точек , то функция  аналитична на всей комплексной плоскости.

Задача. Записать функции , , , ,  ( - натуральное) в виде

,

где , , и убедиться в том, что они удовлетворяют условиям Коши - Римана.

Замечание. Если функцию  представить в виде

,

где  - модуль, а  - аргумент функции , то условия Коши - Римана имеют вид

, .