ГЛАВА 8 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

§ 8.1. Понятие обобщенной функции

В последнее время в математике и ее приложениях получили большое применение обобщенные функции. Само понятие обобщенная функция возникло в работах П. Дирака.

Общая математическая теория обобщенных функций заложена в работах С. Л. Соболева и Л. Шварца.

Ниже излагаются элементарные сведения из теории обобщенных функций, заданных на всей бесконечной действительной оси .

В основе этой теории лежит пространство , состоящее из функций , вообще говоря комплекснозначных (,  и  - действительные функции). Каждая функция  обладает следующими свойствами:

1)      непрерывная на оси  бесконечно дифференцируемая функция;

2)     для любого неотрицательного целого числа  и любого многочлена произвольной степени

произведение -й производной от  на многочлен  стремится к нулю при :

.

Из этих свойств вытекает, что для каждой функции  существует конечный несобственный интеграл

  .                (1)

В самом деле, по условию, например, существует предел

,

где  - любое натуральное число. Следовательно, для числа  существует такое число , что

             (2)

для  с . И так как функция  непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», с. 94, теорема 1) ее модуль ограничен на  некоторым числом :

 .

Но тогда

 

и, следовательно,

  ,             (3)

откуда

.

Этим мы доказали, что всякая функция , вместе со своими производными , принадлежит пространству .

Примером функции  может служить функция . Это бесконечно дифференцируемая на  функция. Ее производные соответственно равны:

, ,

.

По индукции нетрудно показать, что

,

где  есть некоторый многочлен степени .

Если теперь  есть произвольный многочлен степени , то произведение  есть, очевидно, некоторый многочлен степени  и

,

так как при любом

(см. ту же книгу, с. 158, пример 2).

Рис. 163

Вторым примером функции  является так называемая финитная на  функция. Это бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне некоторого отрезка  (рис. 163). Любая ее производная тоже равна нулю вне  и, следовательно, для любого многочлена  степени

.

Во множестве  вводится понятие предельного перехода.

Последовательность  функций из  называется сходящейся к функции  в смысле , если для любого неотрицательного целого числа  и любого многочлена  имеет место равенство

равномерно относительно всех . Иначе говоря, для любого неотрицательного целого числа , любого многочлена  и любого  найдется число  такое, что , для  и .

Если последовательность  сходится к  в смысле , то пишут

  или  .

Множество функций  обладает следующим свойством: если ,  и  - произвольные числа, вообще комплексные, то

.

Благодаря этому свойству множество  называется линейным множеством (или пространством).

Введем определение: если каждой функции , в силу некоторого закона, приведено в соответствие число , то говорят, что на  определен функционал  и пишут

.

Функционал  называется линейным, если он обладает свойством: каковы бы ни были функции  и  и комплексные числа  справедливо равенство

или, в другой записи, .

Функционал  называется непрерывным, если для любой последовательности  функций , сходящейся в смысле  к некоторой функции , имеет место равенство

.

Линейный и непрерывный функционал, определенный на ,

 

называется обобщенной функцией над .

Совокупность всех обобщенных функций над  обозначается через . Приведем примеры обобщенных функций.

Пусть  есть кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству

,                 (4)

где  - некоторое натуральное число. Покажем, что интеграл

                   (5)

есть обобщенная функция , т. е. линейный непрерывный функционал над . В самом деле, на основании неравенства (4) и неравенства (3), в котором надо положить , , интеграл (5) сходится, и притом абсолютно:

.

Линейность функционала (5) очевидна. Функционал (5) является также непрерывным в смысле . В самом деле, пусть

.

Тогда, в частности, стремится к нулю величина

.

Поэтому для любого  найдется  такое, что при

.                 (6)

Но тогда, в силу (4) и (6).

 ,

и мы доказали непрерывность функционала .

Важно отметить, что для того чтобы две кусочно-непрерывные функции  и , удовлетворяющие при некотором  неравенству (4), представляли при помощи равенства (5) равные обобщенные функции  необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство  во всех точках непрерывности  и .

Достаточность условия очевидна, так как величина интеграла не изменится, если подынтегральную функцию изменить в конечном числе точек. Но можно доказать, что это условие является также и необходимым.

В связи со сказанным обобщенную функцию, представимую при помощи интеграла (5) кусочно-непрерывной функцией , отождествляют с этой обычной функцией. Например, , , , ,  - функция Хевисайда, обычные функции, но также и обобщенные, принадлежащие . Для них справедливы неравенства типа (4):

, , ,

, .

Имеется много и других обычных функций , которые определяют при помощи равенства (5) обобщенную функцию , хотя они и не удовлетворяют неравенству (4). Например, нетрудно показать, что функция , хотя и не удовлетворяет неравенству (4), все же порождает обобщенную функцию .

Однако существуют элементарные функции , для которых интеграл (5) не является линейным непрерывным функционалом над . Функция  является примером такой функции. Ведь , но

.

Обобщенную функцию , порожденную обычной функцией  в виде интеграла (5), называют регулярной обобщенной функцией.

Однако в  входят также и другие обобщенные функции.

Важным примером обобщенной нерегулярной функции является дельта-функция Дирака, обозначаемая через .

Функция  есть функционал, определенный на функциях  при помощи равенства  .

-функция приводит в соответствие каждой функции  ее значение в точке . Можно доказать, что не существует обычной функции , которая представляла бы -функцию в виде интеграла (5), т. е. функция Дирака - это подлинно обобщенная функция.