§ 8.2. Операции над обобщенными функциями

Производная от обобщенной функции  по определению есть обобщенная функция , определяемая равенством

  .                           (1)

Так как из того, что , следует, что , и из того, что , следует, что , то функционал  является непрерывным функционалом над . Линейность его очевидна. Определение (1) естественно, потому что, если, например, обычная функция , то

.

Ведь всякая функция из  стремится к нулю при . Очевидно, что любая обобщенная функция  имеет производную (обобщенную) какого угодно порядка, определяемую по индукции .

Таким образом,

.

Например,

;

.

Таким образом, производная от регулярной обобщенной функции Хевисайда  равна , т. е. подлинно обобщенной функции .

По определению последовательность обобщенных функций  сходится к функции  , если

 .

Отсюда автоматически также следует, что последовательность производных  сходится к производной , потому что

  .

Можно рассматривать ряд

.              (2)

функций  имеющий своей суммой функцию , что надо понимать в том смысле, что

  .

Из сказанного, очевидно, следует, что ряд (2) можно почленно дифференцировать:

,             (3)

т. е. ряд (3) сходится в смысле . Но тогда его можно почленно дифференцировать любое число раз:

,  .

Для обобщенной функции  по определению вводится операция умножения на бесконечно дифференцируемую функцию  с помощью равенства , где для некоторых  .

Отметим еще, что если ,  - действительное число, то обобщенные функции ,  определяются при помощи равенств

,

.

Естественность данных определений легко выясняется на обычных функциях из пространства .