§ 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций

Отметим, что если функция  принадлежит , то ее преобразование Фурье  также принадлежит .

При этом преобразование  отображает  на  линейно и непрерывно.

Непрерывность заключается в том, что если какая-либо последовательность функций  сходится в смысле к функции , то и  сходится к :

 при .

Подобные факты имеют место и для обратного преобразования Фурье  функции

.

После сделанных замечаний естественно определить преобразование Фурье обобщенной функции  с помощью следующих равенств:

, .                   (1)

Так как для функции  имеет место равенство (см. § 4.12, с. 120), то подобные равенства верны также для обобщенных функций: , . В самом деле, например, , откуда следует, что .

Отметим еще, что если , то , ,  также принадлежат , и имеет место равенство

(2)

или, коротко,

.

Для обобщенных функций имеет место подобный факт:

.                   (3)

В самом деле, например в силу (1) и (2), получаем

,

т. е.  и (3) доказано.

По индукции легко выводим, что

 .

Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной функции Дирака.

Решение. По определению имеем

.

Отсюда . Аналогично можно получить, что .

Преобразование Фурье обобщенных функций обладает свойствами преобразований Фурье обычных функций, отмеченных в задачах § 4.12. Например, если , то  при любом действительном .

В самом деле, на основании подобного свойства для функций из  имеем

,

откуда .