§ 6.13. Теорема о вычетах

Теорема 1. Пусть функция  аналитическая на всей плоскости , за исключением конечного числа точек . Тогда имеет место равенство

.                       (1)

Доказательство. Построим окружности , ориентированные по часовой стрелке, с центрами соответственно , настолько малого радиуса, чтобы они не пересекались.

Кроме того, построим окружность , ориентированную против часовой стрелки, с центром в нулевой точке, настолько большого радиуса, чтобы окружности  оказались внутри  (рис. 148). Сложный контур  ограничивает область , внутри которой функция  аналитическая. Она аналитическая также на . При этом при обходе по  область  остается слева.

Рис. 148

Но тогда на основании теоремы Коши для сложного контура

                 (2)

или, если помножить левую часть на , то получим ( ориентирована противоположно ):

,

т. е.

.

Надо учесть, что внутри каждого из контуров  имеется только одна особая точка , а вне  - только одна особая точка . Теорема доказана.

Применение этой теоремы сводится к следующему. Если затруднительно вычислить один из интегралов, входящих в (2), то можно попытаться вычислить оставшиеся интегралы, входящие в (2), и получить искомый интеграл из (2).

Само вычисление этих интегралов сводится к разложению функции  в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек. В сущности и эти разложения не надо знать полностью. Достаточно только знать члены вида  этих разложений, чтобы прийти к цели.