§ 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов

Пусть функция  аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов

, .

Теорема 1. Пусть функция  удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того,  при , где  и  - достаточно большое число. Тогда

.          (1)

Доказательство. Опишем полуокружность  (ориентированную против часовой стрелки) радиуса  с центром в точке  так, чтобы все особые точки функции  попали внутрь  (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13

.                (2)

Рис. 149

Так как  при , то

,  .

Переходя к пределу в равенстве (2) при , получим (1).

Пример 1. Вычислить интеграл .

Функция  аналитична в верхней полуплоскости, за исключением точек

, ,

в которых она имеет простые полюсы. Кроме того,  (). Найдем вычеты функции  в точках . По формуле (16) § 6.11

    ,

где . Имеем , , . Отсюда

, .

По формуле (1) получаем

.

Теорема 2. Пусть функция  удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и  равномерно относительно . Тогда

.                         (3)

Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем

                (4)

(функция  имеет те же особенности, что и ).

Нам нужно доказать, что при  интеграл  стремится к нулю. Имеем

.

В силу условия теоремы  при  для всех  () и достаточно большого . Поэтому ( при )

       .

Переходя к пределу в (4), при получаем (3).

Если функция  имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.

П р и м е р 2. Пусть . Эта функция имеет простой полюс на действительной оси

в точке . Далее,  равномерно относительно .

Построим контур интегрирования, как на рис. 150. Обход контура осуществляется по стрелкам, указанным на этом рисунке. В заштрихованной части функция  аналитическая при любом  и любом , поэтому по теореме Коши (полуокружность  ориентирована против часовой стрелки)

.                  (5)

Рис. 150

Как и выше, легко показать, что .

Далее

.

Таким образом, равенство (5) в пределе, при  и , принимает вид

,

т. e.

.

Так как функция  четная, то

.

Замечание. Если под знаком интеграла есть сомножитель  или , то часто удобно рассматривать интеграл от функции, где  или  заменены на . Это объясняется тем, что  и  неограниченно возрастают при , а  при  (). Поэтому поведение функции  будет другое, чем у функции . Затем, получив значение интеграла , выделяя действительную и мнимую части, мы найдем  и .

Пример 3. Вычислить интеграл

                .

Рассмотрим функцию . Эта функция аналитична в верхней полуплоскости, кроме точки . Функция  при  равномерно относительно . Поэтому по теореме 2

.

Выделяя действительную часть, получим

, .

Пример 4. Вычислить интеграл

.

Имеем

.

Итак,

.

Пример 5.

.

Пример 6. Вычислить интегралы Френеля

, .

Рассмотрим функцию . Эта функция в заштрихованной области (рис. 151) аналитическая, поэтому по теореме Коши

,

где  - часть окружности ,  - отрезок прямой ,  (ориентированные по стрелкам).

Рис. 151

Далее

;

, .

Итак, в пределе при  получаем (см. пример 3 §2.13)

. Выделяя действительную и мнимую части, получаем

, ,

т. е.

.