§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция

Целая линейная функция. Рассмотрим три функции

,                   (1)

,                       (2)

,                    (3)

где  - постоянное комплексное число, ,  - произвольное действительное число.

Все три функции (1), (2), (3) отображают плоскость  на всю плоскость .

Рис. 152

Рис. 153

Рис. 154

Функция (1) осуществляет сдвиг плоскости  на вектор  (рис. 152).

Функция (2)  осуществляет растяжение (при ) и сжатие (при ) плоскости  в  раз: , . На рис. 153 показан случай .

Функция (3) осуществляет поворот плоскости  вокруг нулевой точки на угол  (рис. 154).

Функции (1), (2), (3) имеют соответственно производные

, , ,

не равные нулю и потому они осуществляют конформные отображения.

Все эти три функции являются частными случаями более общей целой линейной функции

      ,                      (4)

где  и  - постоянные комплексные числа.

Осуществляемое ею отображение можно записать в виде

,

где , .

Отсюда следует, что она сводится к (1), (2), (3):

, , .

Иначе говоря, преобразование плоскости , осуществляемое функцией (4), сводится к переносу (на вектор ), затем к повороту плоскости (на угол ) и затем к растяжению или сжатию плоскости в  раз.

Функция . Полагая , , имеем

, ,                      (5)

где второе равенство надо понимать с точностью до  .

Отсюда видно, что окружность  переходит в себя, точнее каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно действительной оси.

Отметим, что если окружность  проходится в направлении против часовой стрелки, то отображенная окружность  проходится по часовой стрелке.

Преобразование (5) удобно разбить на два преобразования:

, ;                       (6)

, .                    (7)

Преобразование (6) называется инверсией относительно единичной окружности.

При инверсии относительно единичной окружности точки  и , лежащие на луче, составляющем угол  с осью , переходят в точки, лежащие на этом же луче, и притом так, что

.

Построение точки  по известной точке  видно из рис. 155, где рассмотрен случай, когда  лежит вне окружности . Из точки  проводим касательную к окружности ,  - точка касания, . Из подобия треугольников ( и )

, , .

Рис. 155

Если точка  находится внутри окружности , то восстанавливаем из нее перпендикуляр к  до пересечения с окружностью в точке . Через последнюю проводим касательную к окружности до пересечения с лучом . Точка пересечения и будет точкой .

Точки  и  называют взаимно симметричными относительно окружности .

Отображая теперь (по (7)) точку  зеркально относительно действительной оси, мы получаем точку

.

Из формулы  видно, что при  точка  имеет неограниченно возрастающий модуль, поэтому удобно считать, что при помощи этой формулы точке  соответствует «бесконечно удаленная точка», которую обозначают символом .

Итак, функция  отображает плоскость  на плоскость  при помощи преобразования инверсии относительно окружности  и зеркального отображения относительно оси . При этом точка  переходит в точку , а точка  - в точку .

Далее  при любых  с , поэтому отображение с помощью функции   конформно.

Дробно-линейная функция

.                (8)

Будем считать, что . Очевидно, что точка   переходит в точку .

Функцию , выделяя ее целую часть, можно представить в виде

,                 (9)

откуда видно, что

      ,

т. е. отображение с помощью функции (8) конформно.

Из равенства (9) видно, что данное отображение состоит из рассмотренных выше отображений:

, , .

Если считать прямую линию за окружность бесконечного радиуса, то при преобразовании (9) окружность переходит в окружность (круговое свойство).

Из геометрических соображений ясно, что при параллельном переносе, растяжении и вращении окружность переходит в окружность. Больше того, внутренность отображаемой окружности переходит на внутренность отображенной окружности. Поэтому достаточно проверить круговое свойство для преобразования . Уравнение окружности в плоскости , как нам известно, имеет вид

или

 

или

 . (10)

В рассматриваемом случае , . Следовательно, уравнение (10) переходит в уравнение

или в уравнение

,

которое описывает некоторую окружность в плоскости .

В частности, при  получаем прямую линию, т. е. окружность, проходящая через начало координат в плоскости , переходит в прямую в плоскости .

Отметим, что отображение с помощью функции (9) может переводить внутренность отображаемой окружности как на внутренность, так и на внешность отображенной окружности.

Функция (9) в принципе зависит от трех параметров, за которые можно взять отношение чисел  к одному из них (не равному 0).

Поэтому, чтобы определить преобразование (9), надо задать три условия. Обычно задают три пары соответствующих точек:

 .

Легко подсчитать, что

, .

Отсюда

.              (11)

Это и есть преобразование (9), переводящее точки  в  .

Пусть заданы две окружности  и  соответственно в плоскостях  и . Требуется найти дробно-линейное отображение, переводящее  на  и внутренность  на внутренность .

На   и  соответственно зададим произвольные тройки точек  и , следующие в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Тогда преобразование (11) и будет решением поставленной задачи.

В самом деле, оно отображает точки  соответственно в точки   и, очевидно, окружность  на  (в силу кругового свойства).

Тот факт, что в данном случае внутренность  переходит на внутренность , следует из конформности отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.

В данном случае окружности ,  имеют положительную ориентацию (проходятся против часовой стрелки). В силу конформности отображения внутренняя нормаль к  (например, в точке ) переходит в дугу окружности (перпендикулярной  в точке ), которая находится внутри , а это и обеспечивает отображение внутренности  на внутренность .

Если же нужно найти дробно-линейное преобразование, отображающее  на  и внутренность  на внешность , то в формуле (11) надо взять точки  на , расположенные в положительном направлении, а точки  на  - в отрицательном направлении.

Рис. 156

Рис. 157

Эти выводы распространяются и на случай, когда либо , либо , либо и  и  являются прямыми. Однако требует пояснения, что надо понимать под внутренностью прямой , когда на ней отмечены точки .

В случае рис. 156 это есть верхняя полуплоскость, а в случае рис. 157 - нижняя полуплоскость.

Если прямую  дополнить точкой , то ее можно мыслить как непрерывную окружность (см. рис. 156, 157) бесконечного радиуса.

Будем двигаться по  (возможно, через бесконечно удаленную точку) от  к  в таком направлении, чтобы дуга  не содержала в себе . Этим направление обхода на  определено и тогда внутренностью  называется область, расположенная слева от  при движении по этому направлению. На самом деле этой областью является верхняя или нижняя полуплоскость.

3адача 1. Найти дробно-линейное преобразование, отображающее внутренность единичного круга на верхнюю полуплоскость так, чтобы точки , ,  перешли соответственно в точки , , .

Задача 2. Записать дробно-линейное преобразование верхней полуплоскости в себя, при котором точки , ,  переходят соответственно в точки , , .