ГЛАВА 7 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 7.1. Изображение Лапласа

В этой главе мы, как правило, будем рассматривать функции  действительного переменного , заданные на . Иногда будем считать, что  определена на , но при  функция . Кроме того, будем предполагать, что функция  кусочно-непрерывна и на каждом конечном промежутке имеет конечное число точек разрыва первого рода. Пусть  - комплексное число.

Рассмотрим функцию

.            (1)

Если

,  (2)

где , то функция  аналитическая в полуплоскости  (рис. 158).

Рис. 158

В самом деле,

,           (3)

так как . Законность дифференцирования по  под знаком интеграла следует из неравенства (3) и того факта, что функция  кусочно-непрерывна (см. теорему 2 § 2.15).

Функция  называется изображением Лапласа функции , -изображением или преобразованием Лапласа.

Мы будем употреблять обозначения

, , .

Функцию  в этом случае называют начальной функцией или оригиналом. Число   называется показателем роста функции  (ниже, если особо не оговорено, то мы считаем, что показатель роста  равен ).

Процесс нахождения изображения для заданного оригинала и обратно, нахождение оригинала по известному изображению называется операционным исчислением, начало которому положил Хевисайд. Разработав операционное исчисление, Хевисайд не дал ему обоснования. Отметим, что он рассматривал преобразование

,

т.е. .

В одних вопросах удобным является преобразование Лапласа, в других - преобразование Хевисайда. Мы будем рассматривать преобразование Лапласа.

Обоснование операционного исчисления было дано в двадцатых годах нашего века в работах ряда математиков.

Теорема 1 (единственности). Если две непрерывные функции  и  имеют одно и то же -изображение , то они тождественно равны.

Мы не доказываем эту теорему.

На основании теоремы 1 мы можем сказать, что для непрерывной функции , тождественно не равной нулю, изображение не может быть периодической функцией.

В самом деле, если , где , то

.

По теореме 1

,

т. е.  , чего быть не может.