§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений

Единичной функцией или функцией Хевисайда называется функция

Очевидно, что показатель роста этой функции . Найдем -изображение этой функции в области :

.

Таким образом,

.                            (1)

Аналогично для функции  интегрированием по частям находим

.

Отсюда

    ,

т. e.

.                       (2)

Попутно мы доказали, что

,

откуда

.

Теорема 1 (подобия). Если , то  .

В самом деле,

.

Ha основании теоремы 1 получаем

;               (4)

.                (5)

Теорема 2 (свойство линейности). Имеет место равенство

,

где  - постоянные числа.

Это свойство вытекает из соответствующего свойства несобственного интеграла. Отметим, что если показатели роста функций  и соответственно равны  и , то изображение  существует в полуплоскости .

Пример 1. Найти изображение функции

.

В силу (1), (4) и теоремы 2 имеем

.

Пример 2. Найти оригинал изображения

.

Представим изображение  в виде

.

Имеем

, .

Следовательно, оригинал (по теореме 1 § 7.1)

.

Теорема 3 (смещение изображения).

, .

Доказательство очевидно.

Пример 3. Найти изображение функций , , .

Так как

,

то по теореме 3

.                   (6)

Совершенно аналогично, используя формулы (5) и (1), имеем

,                   (7)

.  (8)

Пример 4. Найти , .

Используя теорему 2 и равенство (8), имеем

.

Аналогично

.

Пример 5. Найти оригинал для изображения

.

Имеем

, .

, .

Теорема 4 (дифференцирование изображения)

.

Доказательство. Если , где  - показатель роста функции , то интеграл

существует при любом . Далее, очевидно, что

.

Отсюда

.

Пример 6. Так как , то в силу теоремы 4 получаем

,

т. е.

.

Продолжая дифференцирование, получим

 .                                (9)

Если  не целое, то

,

где

.

При натуральном  имеем .

Пример 7. Найти изображение функции .

Имеем

,

или

.                      (10)

Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Справедлива формула

                      (11)

в предположении, что функция  непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную  на  с разрывами первого рода и показатели роста  и  равны . Доказательство. Имеем

 ,

потому что

.

Следствие 1. Справедлива формула

                 (12)

при условии, что  непрерывны,  кусочно-непрерывна на , а рост функции  вместе с ее производными до порядка  включительно равен .

В частности, при

                  (13)

имеет место

.                     (14)

Пример 8. Найти изображение функции .

Пусть . Тогда

.

Но

,

.

Следовательно,

,

откуда

.

Этот же результат мы получим, если воспользуемся равенством

,

.

Теорема 6 (интегрирование оригинала).

.

В самом деле, изменяя порядок интегрирования, имеем

.

Теорема 7 (интегрирование изображения).

Если интеграл  сходится, тo он является изображением функции :

.

Доказательство. Изменяя порядок интегрирования, получаем

.

Замечание 1. Мы применяем здесь и ниже изменение порядка интегрирования. Согласно теореме Фубини, которую мы здесь не доказываем, эта операция законна, если полученный после изменения кратный интеграл абсолютно сходится. Кроме того, мы считаем, что путь интегрирования лежит целиком в полуплоскости .

Следствие 2.

,

если сходятся соответствующие несобственные интегралы.

Пример 9. Найти изображение функции .

Имеем

.

По теореме 6

.

Пример 10. Найти изображение функции .

Нам известно, что . Поэтому по теореме 7

.

Пример 11. Найти интеграл

.

Используя пример 10 и следствие 2, получаем

.

Теорема8 (запаздывание оригинала).

Пусть  при , тогда

,

где  - некоторая точка.

Доказательство. Имеем

.

Пример 12. Так как , то (рис. 159)

Рис. 159

.

Пример 13. Пусть (рис. 160)

  .

Рис. 160

По теореме 2 и теореме 8 имеем

.

Пример 14. Найти изображение функции  (рис. 161), определенной на отрезке  равенствами

и продолженной затем на весь луч  с периодом .

Рис. 161

Имеем

.

Выражение

называется сверткой функций  и  и обозначается символом .

Легко проверить, что

(надо сделать замену переменной ).

Теорема 9. Преобразование Лапласа от свертки функций  и  равно произведению преобразований Лапласа от  и  :

.

Доказательство. Напомним, что мы считаем, что  при . Изменяя порядок интегрирования (рис. 162) и учитывая, что  для , имеем

.

Рис. 162

Отметим, что двойной интеграл по бесконечному сектору  от функции  абсолютно сходится при .

Пример 15.

.

Следствие 3. Пусть , , тогда имеет место формула Дюамеля

.                       (15)

Доказательство. Имеем по теореме 9

.

Отсюда, по теореме 5 о дифференцировании оригинала, получаем

.

Теорема 10. Если  и  - соответственно преобразования Фурье и Лапласа функции  , то

.                    (16)

В самом деле,

.

По формуле (16) легко найти изображение Фурье, если известно преобразование Лапласа функции .

Пример 16. Пусть

Найти преобразование Фурье этой функции.

Преобразование Лапласа функции  существует , поэтому

.

Приведем без доказательства ряд теорем о нахождении оригинала по известному изображению.

Теорема 11. Пусть  - аналитическая функция на расширенной комплексной плоскости и точка  правильная и , т. е. ее ряд Лорана имеет вид

.

Тогда оригинал этого изображения дается формулой

               (17)

В самом деле,

.

В силу теоремы 1 § 7.1 (единственности) теорема доказана.

Теорема 12. Пусть  - дробно рациональная функция с полюсами . Тогда

.               (18)

Если  - простые полосы и , где ,  - многочлены без общих корней, то

.                                 (19)

Теорема 13 (формула Меллина). Если  - аналитическая функция в ,  равномерно относительно , или , ,то  является изображением функции

   .                     (20)

Пример 17. Найти оригинал функции

.

Будем пользоваться теоремой 12. Здесь , . Точки ,  являются простыми полюсами функции . По формуле (19) имеем

.

Пример 18. Найти оригинал , если .

Имеем

,

т. е.  удовлетворяет условию теоремы 11. Поэтому

.

Для удобства пользования сведем все полученные изображения элементарных функций в единую таблицу.

Номер по порядку	Оригинал	Изображение
1	1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22