§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство.

При изучении закона движения материальной точки с массой  удобно пользоваться векторной формой записи уравнений. Итак, пусть  - закон движения материальной точки в пространстве , где  - время. Это значит, что в момент времени  точка имеет радиус-вектор , или, что все равно, координаты . Если точка массы  движется под действием заданной силы (вектора) , то по закону Ньютона и механическому смыслу второй производной функция  должна удовлетворять уравнению движения

.                             (1)

Векторное уравнение (1) эквивалентно системе трех скалярных уравнений

                               (2)

где ,, - проекции вектора  на оси координат ,,.

Если считать неизвестными не только координаты точки ,,, но и проекции скорости

,

то мы получим систему из шести уравнений первого порядка

     (3)

Векторное уравнение (1) можно также записать в виде системы двух векторных уравнений, если скорость  считать неизвестной векторной функцией:

,     (1’)

где  - вектор с проекциями ,,.

Если ввести в рассмотрение вектор

,

то уравнение (1) или система (3) эквивалентны одному векторному уравнению первого порядка

           (4)

в шестимерном пространстве, причем вектор

.

Шестимерное пространство точек

в физике называют фазовым, а кривую  в шестимерном пространстве, являющуюся решением (4), называют фазовой траекторией.

Фазовое пространство – это пространство состояний движения точки по кривой.

Первые три координаты  характеризуют положение точки в трехмерном пространстве , а остальные три координаты  характеризуют ее скорость .

Приведенная терминология дает так называемую кинетическую интерпретацию системы уравнений.

Систему (3), или, что то же самое, (4) называют динамической системой.

Для выделения одной траектории необходимо задать начальные условия:, т.е. начальное положение точки и ее начальную скорость. Другими словами, интегральная кривая  должна проходить через точку  шестимерного пространства.

Таким образом, физические задачи приводят нас к необходимости рассмотрения систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим произвольную систему дифференциальных уравнений первого порядка вида

,       (5)

где  - искомые функции, а  - известные функции, заданные на некотором множестве точек - мерного пространства.

Нас будут интересовать решения  системы (5), удовлетворяющие начальным условиям

,                (6)

где  - заданная точка - мерного пространства.

Систему (5) (решенную относительно производных искомых функций!) называют нормальной (см. § 1.12, 1.13).

Если функции  не зависят явно от независимого переменного , то система  называется автономной нормальной системой

.         (7)

Если ввести векторы в мерном пространстве

то систему (5) можно записать в виде

,     (5’)

а начальные условия (6)- в форме

.      (6’)

Автономную систему можно записать так:

.     (7’)

Автономную систему можно интерпретировать следующим образом. В каждой точке некоторого множества n-мерного пространства определен вектор

.

Этим определено на указанном множестве поле векторов.

Решение  описывает определенную траекторию движения точки в n-мерном пространстве, причем вектор скоростив момент ее прохождения  через , совпадает с вектором.

Пространство размеренности n точек, в котором интерпретируются решения автономной системы (7’) в виде траекторий, называется фазовым пространством системы.

Траектории  называются фазовыми траекториями, векторы  - фазовыми скоростями.

Вопрос существования решения нормальной системы был рассмотрен в § 1.12.