§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений.

Система

                                                      (1)

где коэффициенты  - заданные непрерывные на интервале  функции (или постоянные числа), называется линейно однородной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для сокращения записи систем удобно пользоваться векторно-матричными обозначениями. Введем матрицу коэффициентов системы (1)

и искомую систему функций запишем в виде одностолбцовой матрицы

.

Введем некоторые общие понятия, касающиеся матриц. Пусть пока  - произвольная матрица.

Если функции  непрерывно дифференцируемы, то можно ввести понятие производной от матрицы, а именно, это есть матрица, состоящая из производных элементов исходной матрицы. Таким образом,

.

Легко проверить следующие свойства:

1) Если  - постоянная матрица, то , где  - нулевая матрица, все ее элементы нули.

2) Если матрицы  и  одного размера, то

.

3) Если для матриц  и  выполнимо умножение, то

.

4) Пусть  - обратная матрица для , т.е.

,

где  - единичная матрица. Дифференцируя это равенство, получаем

,

.

.

Аналогично можно ввести понятие интеграла от матрицы, а именно, это есть матрица, элементы которой суть интегралы от элементов исходной матрицы:

.

Данное понятие обладает свойствами, сходными с обычными свойствами интегралов от функций. Мы отметим лишь одно свойство – аналог формулы Ньютона-Лейбница: если  и  матрицы и , то

.

Согласно правилу умножения матриц систему (1) можно записать так:

.   (1’)

Напомним, что под равенством матриц понимается равенство их соответствующих элементов.

Отметим очевидные свойства.

Если вектор-функциии удовлетворяют системе (1’), т.е.

.

То их сумма тоже удовлетворяет системе (1’):

.             (2)

Кроме того, если -число, то вектор-функция  удовлетворяет системе (1’):

                                  (3)

Из этих свойств по индукции следует, что если

                                      (4)

 

- решения системы (1’) и  - произвольные, то

                              (5)

есть решение (1’).

Важно отметить, что если система (4) решений линейно независима, то формула (5) выражает общее решение системы (1’), иначе говоря, в формуле (5) при различных постоянных  содержатся всевозможные решения системы (1’).

Доказательство этого утверждения можно провести как в случае линейного уравнения  - го порядка.

Система (4) вектор-функций называется линейно независимой на , если из равенства

              (6)

следует, что.

Так как векторное уравнение (6) эквивалентно n скалярным равенствам

             (6’)

то из того, что определитель

                              (7)

не равен нулю хотя бы для некоторого значения , уже следует, очевидно, линейная  независимость системы (4) вектор-функций.

Определитель  называется  определителем Вронского системы (4) вектор-функций.

Если система векторов (4) линейно независима на и эти векторы являются решениями системы (1’) c непрерывными коэффициентами, то можно доказать, что для всех.

Таким образом, условие для всех, является необходимым и достаточным условием линейной независимости на решений (4) системы (1) с непрерывными коэффициентами.

Итак, для того, чтобы получить общее решение однородной системы (1), надо найти n линейно независимых решений (4) системы (1). Сумма (5), где- произвольные постоянные, есть общее решение системы (1).

Отметим, что решения системы (1) существуют на том же интервале, где определены и непрерывны коэффициенты системы (1).

Систему из n линейно независимых на  решений системы (1) принято называть фундаментальной системой решений системы (1).

Эту систему можно характеризовать квадратной матрицей

,

которая называется фундаментальной матрицей системы (1).

Таким образом, в фундаментальной матрице решения (4) располагаются по столбцам. Обратим внимание, что в записи  первый индекс  обозначает номер координаты, а второй  - номер решения.

Покажем, что фундаментальная матрица  удовлетворяет матричному уравнению

.                                       (8)

Так как функции  удовлетворяют  - му уравнению системы (1), то

.

Следовательно, согласно правилу умножения матриц (в данном случае квадратных), имеем

.

что и требовалось доказать.

Обратно, если матрица  удовлетворяет матричному уравнению (8), то ее столбцы

представляют решения линейной однородной системы (1).

Если при этом

,

то матрица  является фундаментальной.

В самом деле

,

где . Умножая справа на  уравнение (8), получаем

,

т.е.

.

Если  - фундаментальная матрица системы (1), то общее решение (5) системы (1) можно коротко записать в виде

,                               (9)

где  - постоянная матрица-столбец с произвольными элементами.

Полагая в тождестве (9) , будем иметь

.

Отсюда

.

Следовательно,

.

Матрица

носит название матрицы Коши.

С помощью этой матрицы решение системы (1) можно записать так:

.                                (10)

В частности, если фундаментальная матрица  нормирована при , т.е. , где  - единичная матрица, то формула (10) принимает вид

.                                       (11)

Существование такой нормированной матрицы вытекает из теоремы 2 § 1.13.