§ 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Будем искать решение линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

                                      (1)

или

,                                            (1’)

где  - заданная числовая матрица, в следующем виде:

,                              (2)

или

.                                              (2’)

Числа  подлежат определению.

Конечно, числа

дают тривиальное решение системы (1):

.

Но нас интересуют нетривиальные решения, соответствующие ну равным нулю векторам

.

Имеем

.

Подставляя функции  и их производные в (1), после сокращения на  и переноса членов в одну сторону, получим

          (3)

или в матричной форме

,                                             (3’)

или

,                                        (4)

где , а

- единичная матрица.

Для того, чтобы система (3) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

                      (5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы (1). Из уравнения (5) мы и находим те значения , при которых система (4) имеет нетривиальные решения .

Левая часть (5) есть многочлен степени  по переменной . С учетом кратности этот многочлен имеет  корней:

.                                   (6)

Если все  нулей различны, то, подставляя каждый из них  в систему (4) и решая ее, мы получим некоторый удовлетворяющий ей нетривиальный вектор

.              (7)

Этот вектор определяется неоднозначно – с точностью из скалярного множителя.

Из (4) видно, что  являются собственными значениями матрицы (линейного преобразования) , а векторы  - собственными векторами .

Векторы  линейно независимы, если все собственные значения различны. Доказательство можно провести по индукции.

Докажем, что любые  векторов этой системы линейно независимы между собой.

Для  это очевидно, потому что каждый из векторов  не тривиален. Пусть наше утверждение верно для  векторов. Докажем его для  векторов.

Предположим противное. Пусть, например, первые  векторов нашей системы линейно зависимы. Тогда

,                              (8)

где хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля. Для определенности будет считать, что . Применим линейное преобразование, порожденное матрицей , к обеим частям (8):

.                       (9)

Умножая (8) на  и вычитая из (9), получаем

,

где  при всех .

Значит, , и мы получили, что векторы  линейно зависимы, что противоречит предположению.

Итак, собственные векторы, отвечающие различным собственным числам , линейно независимы и определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю:

.

Замечание 1. Так как в - мерном пространстве не может быть больше чем  линейно независимых векторов, то каждому собственному значению  (если все они различны!) соответствует только один собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

В результате получаем  вектор-функций  - решений системы (1)

                                     (10)

Вектор-функции (10) образуют линейно независимую систему на интервале б так как их определитель Вронского

.

Поэтому общее решение системы (1) имеет вид

,                                           (11)

где  - произвольные постоянные. В развернутом виде общее решение можно записать:

                             (11')

Замечание 2. На практике, вместо того чтобы находить векторы  из линейных систем (4), ищут общее решение системы (1) в виде

где  корни характеристического уравнения (различные!), а  - числа, которые надо найти. Из изложенной теории следует, что такие числа существуют.

Чтобы найти числа , подставляем функции  в систему (1) и сравниваем коэффициенты при одинаковых . Числа  получаются при этом неоднозначно, они зависят от  произвольных постоянных.

Пример 1. Решить систему

Характеристическое уравнение

,

имеет корни . Исходя из структуры общего решения, будем искать решения в виде

(т.е. мы опускаем процесс нахождения числа ).

Коэффициенты  выразим через . Подставляя функции  и  в одно из уравнений системы, получаем

,

откуда , т.е.

, .

Таким образом, общее решение имеет вид

Пусть теперь характеристическое уравнение (5) системы (1) имеет корень  кратности . Сведем систему (1) к одному уравнению - го порядка относительно функции . Это уравнение и система (1) имеют одно и то же характеристическое уравнение (доказательство ниже). Но тогда, как мы знаем, корню   кратности  соответствует решение - го порядка вида

,

где  - произвольные постоянные. Таким образом,

,

где  есть многочлен степени .

Рассуждая аналогично, мы и другие функции  можем выразить в форме

,                                     (12)

где  многочлены степени .

Каждая из функций  удовлетворяет указанному дифференциальному уравнению - го порядка, каковы бы ни были коэффициенты многочлена .

Остаются среди многочленов  отобрать такие, чтобы соответствующие им функции  совместно удовлетворяли системе (1). Для этого надо подставить  в систему (1), сократить ее на и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях . Искомые коэффициенты будут зависеть от  произвольных постоянных. Можно иногда порекомендовать взять многочлен  произвольным, и тогда коэффициенты остальных многочленов  уже определятся однозначно через коэффициенты .

Однако возможно, что на этом пути мы придем к противоречию, показывающему, что на самом деле в данном случае некоторые коэффициенты многочлена  равны нулю и их считать произвольными нельзя.

Подобным образом рассуждаем и в отношении других кратных корней характеристического уравнения, если таковые у данного уравнения имеются. Решения, соответствующие простым корням, ищем в виде (8), как объяснялось выше.

Чтобы получить общее решение системы (1), надо взять сумму указанных решений (вектор-функций).

В простых случаях можно искать решение сразу в виде суммы подобных решений. Это лучше всего выяснить на примерах.

Пример 2. Решить систему

Характеристическое уравнение  или  имеет кратный корень .

Дифференциальное уравнение, соответствующее нашей системе для функции , имеет вид . Оно имеет то же характеристическое уравнение.

Решение системы надо искать в виде

.

Подставляя эти функции в систему, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  (в первом равенстве), получаем . Второе равенство дает те же самые решения. Итак, общее решение системы имеет вид

.

Пример 3. Решить систему

Характеристическое уравнение имеет вид

или

.

Таким образом,  - корень второй кратности, а  - простой корень характеристического уравнения. Система (3) при  имеет вид

Поэтому  должны быть такими, чтобы  т.е. у нас две свободные переменные, скажем  и .

Поэтому, например,  - линейно независимые собственные векторы матрицы  нашей системы (матрица  симметрическая). Для  находим . Поэтому

- линейно независимые решения и

- общее решение нашей системы.

В развернутом виде общее решение можно записать:

Замечание 3. Если матрица  симметрическая , то соответствующий линейный оператор  будет самосопряженным и, как мы знаем, в этом случае, какие бы корни уравнение (5) ни имело (в том числе и кратные), существует система из собственных линейно независимых векторов  и, следовательно, для системы (1) с симметрической матрицей  можно написать общее решение, зная вектора .