1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины.

На рис. 16 изображена подвешенная вертикально пружина. К нижнему ее концу прикреплен шарик, имеющий массу . Изображена также координатная ось , направленная вертикально вниз. Считаем, что начало  оси координат, совпадает с центром шарика, когда пружина находится в ненапряженном состоянии. Однако в момент времени  она выведена из состояния покоя мгновенным ее сжатием или растяжением, сопровождаемым, быть может, еще приданием шарику импульса (мгновенной скорости) в вертикальном направлении. Благодаря этому при  пружина совершает вертикальные колебания.

Координата центра шарика есть функция от времени . Поставим задачу найти эту функцию.

Ускорение движения центра шарика есть производная второго порядка  от . По закону Ньютона произведение  массы шарика на ускорение его центра равно действующей на него силе. Если пренебречь весом шарика и сопротивлением воздуха, то придется учесть только силу напряжения в пружине. По закону Гука эта сила равна , где - положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины. Если , то пружина растянута, и сила напряжения направлена вверх, т.е. в наших обозначениях отрицательна, а если , то пружина сжата и указанная сила направлена вниз, т.е. положительна. В обоих случаях сила равна .

Итак, справедливо равенство

      (25)

или

.            (26)

Мы видим, что искомая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка (26).

Общее его решение, как мы знаем, имеет вид

,               (27)

где  и  - произвольные постоянные.

При функции вида (27) говорят, что она описывает гармоническое колебание с частотой .

Задача Коши для уравнения (26): ,  выражает, что мы хотим найти частное движение, соответствующее тому случаю, когда в момент  центр шарика перемещен в точку  и ему в этот момент придан импульс .

Легко подсчитать, что в этом случае

,

и, следовательно, движение центра шарика описывается функцией

.

Если учитывать вес шарика, то к правой части уравнения (25) надо еще добавить величину , где - ускорение земного притяжения. И тогда дифференциальное уравнение движения центра шарика запишется так:

.                 (28)

Общее решение этого уравнения имеет вид

,    (29)

где  и  - произвольные постоянные. Ведь решение есть сумма общего решения  соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Этот случай нахождения частного решения предусмотрен формулами (2)-(4) .

Из формулы (29) следует, что при

, .

Следовательно, задача Коши  приводит к решению

.

Мы видим, что центр шарика описывает гармонические колебания возле точки, имеющей ординату .

Но наши рассмотрения будут еще ближе к действительности, если мы учтем силу сопротивления среды (воздуха) и терния, возникающего в пружине. Опыт показывает, что эта сила равна , где  - положительный коэффициент, характеризующий среду и пружину.

Теперь уже дифференциальное уравнение движения (центра шарика) будет иметь вид

или

.                               (30)

Из физических соображений мы должны ожидать, что это движение совершает затухающие колебания. Так оно и есть.

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (30) имеет вид

,

откуда

.

Если , что на практике обычно имеет место, получим два комплексных корня

.

Частное решение уравнения (30) можно найти в виде постоянной . Очевидно , и, следовательно, общее решение уравнения (30) имеет вид

. (31)

Как мы и ожидали, центр шарика совершает затухающие колебания. Эти колебания совершаются на оси  вокруг точки . (Напомним, что начало координат  помещено в точку, в которой находится центр шарика, когда пружина не напряжена.)

Очевидно,

.

Рассмотрим еще движение (центр шарика), описываемое дифференциальным уравнением

.  (32)

Мы, таким образом, решили пренебречь сопротивлением среды (т.е. считаем ). Предполагаем также, что  и что к центру шарика приложена внешняя сила, равная .

Общее решение уравнения (32) имеет вид (см. выше пример 3)

.

Функция  есть решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (32). На языке механики эта функция описывает собственные колебания системы (пружина, шарик). Эта функция ограниченная периодическая.

Функция  есть частное решение уравнения (32). На языке механики она описывает вынужденное колебание системы, т.е. колебание, вызванное внешней силой. В данном случае амплитуда вынужденного колебания с увеличением времени  растет к .

Решение уравнения (32) есть сумма соответствующего ему решения однородного уравнения и некоторого его частного решения. На языке механики в этом случае говорят, что колебание системы есть сумма собственного и вынужденного колебаний этой системы.

С математической точки зрения тот факт, что частное решение уравнения (32) имеет вид , где - постоянная, объясняется тем, что число  (см. пример 3) есть корень кратности 1 характеристического уравнения.

Механик этот факт выразил бы другими словами. Он сказал бы, что в данном случае частота собственного колебания системы равна частоте колебания внешней силы. Равенство этих частот, приводит к резонансу – система колеблется с той же частотой, но с неограниченно возрастающей при  амплитудой.

Другое дело, если указанные частоты различны, тогда резонанса нет. Например, в примере 2 указанные частоты различны и любое движение системы имеет ограниченную амплитуду.